নিচের কোন ভেক্টরগুলাে যোগাশ্রয়ী নির্ভরশীল?

ভেক্টরের যোগাশ্রয়ী নির্ভরশীলতা (Linear Dependency) ও স্বাধীনতার (Linear Independence) মৌলিক শর্তসমূহ নিম্নরূপ:

১. মাত্রাগত শর্ত (Dimension Rule): \(\mathbb{R}^n\) জগতে ভেক্টরের সংখ্যা যদি জগতের মাত্রার (\(n\)) চেয়ে বেশি হয়, তবে ভেক্টরগুলো অবশ্যই যোগাশ্রয়ী নির্ভরশীল (Linearly Dependent) হবে।

২. নির্ণায়ক শর্ত (Determinant Rule): \(n\)-মাত্রিক স্থানে \(n\)-সংখ্যক ভেক্টর দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের (Determinant) মান শূন্য (\(0\)) হলে ভেক্টরগুলো যোগাশ্রয়ী নির্ভরশীল হয়। আর নির্ণায়কের মান অশূন্য (\(\neq 0\)) হলে ভেক্টরগুলো যোগাশ্রয়ী স্বাধীন (Linearly Independent) হয়।

প্রদত্ত অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

  
• অপশন ৩: এখানে ভেক্টর রয়েছে ৪টি — \((1,2,3), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\)। যেহেতু এগুলো \(\mathbb{R}^3\) ত্রিমাত্রিক জগতের ভেক্টর এবং ভেক্টরের সংখ্যা (\(4\)) জগতটির মাত্রা (\(3\)) অপেক্ষা বেশি (\(4 > 3\)), তাই এই ভেক্টরগুলো যোগাশ্রয়ী নির্ভরশীল।
  
• অপশন ১: \((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\) ভেক্টরগুলোর নির্ণায়ক:
    \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0\) (যোগাশ্রয়ী স্বাধীন)
  
• অপশন ২: \((1,2,3), (0,1,2), (1,0,0)\) ভেক্টরগুলোর নির্ণায়ক:
    \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1(4-3) = 1 \neq 0\) (যোগাশ্রয়ী স্বাধীন)
  
• অপশন ৪: \((2,3,5), (3,4,5), (0,1,0)\) ভেক্টরগুলোর নির্ণায়ক:
    \(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1(10-15) = 5 \neq 0\) (যোগাশ্রয়ী স্বাধীন)

সুতরাং, (1,2,3), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ভেক্টরগুলো যোগাশ্রয়ী নির্ভরশীল।

\(\mathbb{R}^3\) স্থানে ৩টির বেশি (যেমন- ৪টি) ভেক্টর থাকলে কোনো প্রকার গাণিতিক হিসাব ছাড়াই সরাসরি বলা যায় ভেক্টরগুলো যোগাশ্রয়ী নির্ভরশীল (Linearly Dependent)।