নিচের কোন শর্তে $2x^2-(a+b)x+a^2+b^2=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \(Px^2 + Qx + R = 0\) এর মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হওয়ার শর্ত হলো, এর নিশ্চায়ক (Discriminant) শূন্য হবে। অর্থাৎ, \(Q^2 - 4PR = 0\)।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \(2x^2 - (a+b)x + (a^2+b^2) = 0\)

এই সমীকরণটিকে \(Px^2 + Qx + R = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই:

    
• \(P = 2\)
    
• \(Q = -(a+b)\)
    
• \(R = (a^2+b^2)\)

মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হওয়ার শর্তানুসারে, নিশ্চায়ক শূন্য হবে:

\(Q^2 - 4PR = 0\)

\(\left( -(a+b) \right)^2 - 4(2)(a^2+b^2) = 0\)

\((a+b)^2 - 8(a^2+b^2) = 0\)

\(a^2 + 2ab + b^2 - 8a^2 - 8b^2 = 0\)

\(-7a^2 + 2ab - 7b^2 = 0\)

উভয় পক্ষকে \(-1\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(7a^2 - 2ab + 7b^2 = 0\)

এখন, আমরা এই শর্তটিকে আরও বিশ্লেষণ করব। এটি একটি দ্বিঘাত রাশি, যেখানে \(a\) এবং \(b\) বাস্তব সংখ্যা।

যদি আমরা এটিকে \(a\) এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হিসেবে দেখি, তবে \(7a^2 - (2b)a + 7b^2 = 0\)।

\(a\) এর বাস্তব মানের জন্য এই সমীকরণের নিশ্চায়ক অঋণাত্মক হতে হবে।

\(D_a = (-2b)^2 - 4(7)(7b^2)\)

\(D_a = 4b^2 - 196b^2\)

\(D_a = -192b^2\)

\(a\) এর বাস্তব মান থাকার জন্য \(D_a \ge 0\) হতে হবে।

সুতরাং, \(-192b^2 \ge 0\)।

যেহেতু \(b^2\) সর্বদা অঋণাত্মক (\(b^2 \ge 0\)), তাই \(-192b^2\) সর্বদা অনূর্ধ্ব (\(\le 0\)) হবে।

অতএব, \(-192b^2 \ge 0\) হওয়ার একমাত্র উপায় হলো \(-192b^2 = 0\)।

এর থেকে পাই \(b^2 = 0\), যা থেকে \(b = 0\)।

এখন, \(b=0\) মানটি \(7a^2 - 2ab + 7b^2 = 0\) সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(7a^2 - 2a(0) + 7(0)^2 = 0\)

\(7a^2 = 0\)

\(a^2 = 0\)

\(a = 0\)

সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হওয়ার শর্ত হলো \(a=0\) এবং \(b=0\)।

এখন আমরা প্রদত্ত অপশনগুলো যাচাই করি:

    

1. \(a+b = 0\): যদি \(a=0\) এবং \(b=0\) হয়, তাহলে \(0+0=0\), যা সত্য। তবে, এই শর্তটি \(a=1, b=-1\) এর জন্যও সত্য, যেখানে \(a\) ও \(b\) উভয়ই শূন্য নয়। এই ক্ষেত্রে \(7(1)^2 - 2(1)(-1) + 7(-1)^2 = 7+2+7 = 16 \neq 0\)। সুতরাং, এই অপশনটি পর্যাপ্ত নয়।

    

2. \(a^2+b^2 = 0\): বাস্তব সংখ্যা \(a\) এবং \(b\) এর জন্য, \(a^2 \ge 0\) এবং \(b^2 \ge 0\)। তাই \(a^2+b^2 = 0\) হওয়ার একমাত্র শর্ত হলো \(a^2=0\) এবং \(b^2=0\), যার অর্থ \(a=0\) এবং \(b=0\)। এটি আমাদের নির্ণীত শর্তের সাথে পুরোপুরি মিলে যায়।

    

3. \(a-b = 0\): যদি \(a=0\) এবং \(b=0\) হয়, তাহলে \(0-0=0\), যা সত্য। তবে, এই শর্তটি \(a=1, b=1\) এর জন্যও সত্য, যেখানে \(a\) ও \(b\) উভয়ই শূন্য নয়। এই ক্ষেত্রে \(7(1)^2 - 2(1)(1) + 7(1)^2 = 7-2+7 = 12 \neq 0\)। সুতরাং, এই অপশনটি পর্যাপ্ত নয়।

    

4. \(ab = 1\): এই শর্তে \(a\) এবং \(b\) কোনটিই শূন্য হতে পারে না। যেহেতু আমাদের প্রাপ্ত শর্ত হলো \(a=0\) এবং \(b=0\), তাই এই অপশনটি সঠিক নয়।

অতএব, প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী \(a=0\) এবং \(b=0\) হওয়া আবশ্যক, যা শুধুমাত্র \(a^2+b^2=0\) শর্ত দ্বারা সঠিকভাবে প্রকাশিত হয়।