বনভোজনে যাওয়ার জন্য ২৭০০ টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হয়। এই শর্তে যে প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। পাঁচজন যাত্রী না আসায় মাথাপিছু ভাড়া ৩ টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে মোট কতজন যাত্রী ছিল?

ধরি, বাসে মোট যাত্রী যাওয়ার কথা ছিল \(P\) জন।

মোট ভাড়া = ২৭০০ টাকা।

প্রত্যেক যাত্রীর মাথাপিছু মূল ভাড়া ছিল = \(\frac{২৭০০}{P}\) টাকা।

পাঁচজন যাত্রী না আসায়, বর্তমান যাত্রী সংখ্যা = \((P - 5)\) জন।

পাঁচজন যাত্রী না আসায় মাথাপিছু ভাড়া = \(\frac{২৭০০}{P - 5}\) টাকা।

প্রশ্নমতে, পাঁচজন যাত্রী না আসায় মাথাপিছু ভাড়া ৩ টাকা বৃদ্ধি পেল। অর্থাৎ, বর্তমান ভাড়া মূল ভাড়া থেকে ৩ টাকা বেশি।

অতএব,

\(\frac{২৭০০}{P - 5} - \frac{২৭০০}{P} = 3\)

উভয়পক্ষকে \(P(P - 5)\) দিয়ে গুণ করে পাই:

\(2700P - 2700(P - 5) = 3P(P - 5)\)

\(2700P - 2700P + 13500 = 3P^2 - 15P\)

\(13500 = 3P^2 - 15P\)

পুরো সমীকরণকে ৩ দিয়ে ভাগ করে পাই:

\(\frac{13500}{3} = \frac{3P^2}{3} - \frac{15P}{3}\)

\(4500 = P^2 - 5P\)

সমীকরণটি সাজিয়ে পাই:

\(P^2 - 5P - 4500 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ \(aP^2 + bP + c = 0\) হলে, এর সমাধান সূত্র হলো \(P = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)।

এখানে, \(a = 1, b = -5, c = -4500\)।

সুতরাং, \(P = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-4500)}}{2 \times 1}\)

\(P = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 18000}}{2}\)

\(P = \frac{5 \pm \sqrt{18025}}{2}\)

এখন \(\sqrt{18025}\) এর মান নির্ণয় করি। আমরা জানি, \(134^2 = 17956\) এবং \(135^2 = 18225\)। যেহেতু ১৮০২৫ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, \(\sqrt{18025}\) এর মান একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না।
\(\sqrt{18025} \approx 134.257\) (প্রায়)

অতএব, \(P = \frac{5 \pm 134.257}{2}\)

যাত্রী সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই আমরা ধণাত্মক মানটি নেব:

\(P = \frac{5 + 134.257}{2}\)

\(P = \frac{139.257}{2}\)

\(P \approx 69.628\)

যাত্রী সংখ্যা অবশ্যই একটি পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। যেহেতু প্রাপ্ত \(P\) এর মান কোনো পূর্ণসংখ্যা নয় এবং প্রদত্ত বিকল্পগুলির কোনোটির সাথেও মেলে না, তাই সঠিক উত্তরটি হলো 'কোনটিই নয়'।