যদি ${\int }_0^1 f\left(x\right) dx = 10$ হয় তবে ${\int }_0^{1}x f \left(x^2\right) dx$এর মান কত হবে?

দেওয়া আছে,

\( \msubsup{\int_0^1} f(x) dx = 10 \) ...... (i)

আমাদের ${\int }_0^{1}x f \left(x^2\right) dx$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, \( I = \msubsup{\int_0^1} x f(x^2) dx \)

এটি সমাধানের জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method) ব্যবহার করব।

ধরি, \( u = x^2 \)

এখন, \( u \) এর সাপেক্ষে \( x \) কে অন্তরীকরণ (differentiate) করলে পাই,

\( \frac{du}{dx} = 2x \)

সুতরাং, \( du = 2x dx \)

বা, \( x dx = \frac{1}{2} du \)

এখন, ইন্টিগ্রেশনের সীমা (limits of integration) পরিবর্তন করতে হবে:

    
• যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 0^2 = 0 \)
    
• যখন \( x = 1 \), তখন \( u = 1^2 = 1 \)

এখন ইন্টিগ্রালটিতে (integral) প্রতিস্থাপন করে পাই:

\( I = \msubsup{\int_0^1} f(u) \left(\frac{1}{2} du\right) \)

\( I = \frac{1}{2} \msubsup{\int_0^1} f(u) du \)

আমরা জানি, নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের (definite integral) মান চলকের (variable) উপর নির্ভর করে না। অর্থাৎ, \( \msubsup{\int_0^1} f(x) dx = \msubsup{\int_0^1} f(u) du \)।

সমীকরণ (i) থেকে আমরা জানি \( \msubsup{\int_0^1} f(x) dx = 10 \)।

সুতরাং, \( \msubsup{\int_0^1} f(u) du = 10 \)

এই মানটি ইন্টিগ্রাল \( I \) তে বসিয়ে পাই:

\( I = \frac{1}{2} \times 10 \)

\( I = 5 \)

অতএব, \( \msubsup{\int_0^1} x f(x^2) dx \) এর মান 5 হবে।