যদি $a^2 = 13 + 2\sqrt{4x}$ হয়, তবে $a^3-\frac{1}{a^3}$ এর মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \(a^2 = 13 + 2\sqrt{4x}\)

এই ধরনের বীজগাণিতিক সমস্যায়, \(P + 2\sqrt{Q}\) আকারের রাশিকে সাধারণত \(( \sqrt{p} + \sqrt{q} )^2\) আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে \(p+q = P\) এবং \(pq = Q\)।

এখানে, \(a^2 = 13 + 2\sqrt{4x}\)।

যদি আমরা ধরে নিই যে \(a = \sqrt{p} + \sqrt{q}\) আকারের একটি রাশি, তবে \(a^2 = (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 = p + q + 2\sqrt{pq}\)।

উপরের সমীকরণ দুটি তুলনা করে আমরা পাই:

    
• \(p+q = 13\)
    
• \(pq = 4x\)

বিকল্পগুলোতে ফলাফলে \(\sqrt{6}\) থাকায়, এটি নির্দেশ করে যে \(a - \frac{1}{a}\) অথবা \(a + \frac{1}{a}\) এর মান \(\pm k\sqrt{6}\) আকারের হবে। এই ধরনের ফলাফল পেতে হলে, সাধারণত \(p\) এবং \(q\) এর মান এমন হয় যেন তাদের যোগফল 13 হয় এবং তাদের বর্গের বিয়োগফল 1 হয় অথবা তারা এমনভাবে গুণ হয় যাতে \(\sqrt{6}\) আসে। 7 এবং 6 সংখ্যা দুটি এই শর্ত পূরণ করে, কারণ \(7+6=13\) এবং \(7-6=1\)।

যদি \(p=7\) এবং \(q=6\) হয়, তবে \(p+q = 7+6 = 13\)।

এবং \(pq = 7 \times 6 = 42\)।

প্রদত্ত প্রশ্নে \(x\) এর মান উল্লেখ না থাকলেও, উপরের বিশ্লেষণের ভিত্তিতে ধরে নেওয়া হয় যে \(4x = 42\)। এক্ষেত্রে, \(x = \frac{42}{4} = \frac{21}{2}\)। এই নির্দিষ্ট মানের জন্য সমস্যাটি একটি নির্দিষ্ট সমাধান দেবে।

তাহলে, \(a^2 = 13 + 2\sqrt{42}\)।

এখন, আমরা \(13 + 2\sqrt{42}\) কে \(( \sqrt{p} + \sqrt{q} )^2\) আকারে লিখব। \(p+q=13\) এবং \(pq=42\) এর জন্য, \(p=7\) এবং \(q=6\) ব্যবহার করা যেতে পারে।

সুতরাং, \(a^2 = 7+6+2\sqrt{7 \times 6} = (\sqrt{7}+\sqrt{6})^2\)।

এখান থেকে আমরা পাই, \(a = \pm (\sqrt{7}+\sqrt{6})\)।

এখন, আমরা \(a^3 - \frac{1}{a^3}\) এর মান নির্ণয় করব। এর জন্য আমাদের প্রথমে \(a - \frac{1}{a}\) এর মান বের করতে হবে।

ক্ষেত্র ১: যদি \(a = \sqrt{7}+\sqrt{6}\) হয়।

তাহলে, \(\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\)

হরকে মূলদ করতে লব ও হরকে \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) দিয়ে গুণ করি:

\(\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{1} = \sqrt{7}-\sqrt{6}\)

এখন, \(a - \frac{1}{a} = (\sqrt{7}+\sqrt{6}) - (\sqrt{7}-\sqrt{6})\)

\(a - \frac{1}{a} = \sqrt{7}+\sqrt{6} - \sqrt{7}+\sqrt{6} = 2\sqrt{6}\)

আমরা জানি, \(a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right)^3 + 3\left(a - \frac{1}{a}\right)\) [বীজগণিতের সূত্র]।

মান বসিয়ে পাই:

\(a^3 - \frac{1}{a^3} = (2\sqrt{6})^3 + 3(2\sqrt{6})\)

\((2\sqrt{6})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{6})^3 = 8 \cdot (6\sqrt{6}) = 48\sqrt{6}\)

\(3(2\sqrt{6}) = 6\sqrt{6}\)

সুতরাং, \(a^3 - \frac{1}{a^3} = 48\sqrt{6} + 6\sqrt{6} = 54\sqrt{6}\)। এই মানটি বিকল্পগুলিতে একটি ধনাত্মক মান হিসাবে নেই।

ক্ষেত্র ২: যদি \(a = -(\sqrt{7}+\sqrt{6})\) হয়।

তাহলে, \(\frac{1}{a} = \frac{1}{-(\sqrt{7}+\sqrt{6})} = - \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\)

পূর্বের ন্যায়, \(\frac{1}{a} = -(\sqrt{7}-\sqrt{6})\)

এখন, \(a - \frac{1}{a} = -(\sqrt{7}+\sqrt{6}) - (-(\sqrt{7}-\sqrt{6}))\)

\(a - \frac{1}{a} = -(\sqrt{7}+\sqrt{6}) + (\sqrt{7}-\sqrt{6})\)

\(a - \frac{1}{a} = -\sqrt{7}-\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{6} = -2\sqrt{6}\)

আমরা জানি, \(a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right)^3 + 3\left(a - \frac{1}{a}\right)\)

মান বসিয়ে পাই:

\(a^3 - \frac{1}{a^3} = (-2\sqrt{6})^3 + 3(-2\sqrt{6})\)

\((-2\sqrt{6})^3 = (-2)^3 \cdot (\sqrt{6})^3 = -8 \cdot (6\sqrt{6}) = -48\sqrt{6}\)

\(3(-2\sqrt{6}) = -6\sqrt{6}\)

সুতরাং, \(a^3 - \frac{1}{a^3} = -48\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = -54\sqrt{6}\)

এই মানটি বিকল্পগুলির মধ্যে আছে (বিকল্প ২)। যেহেতু \(a^2\) একটি ধনাত্মক সংখ্যা, \(a\) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। বিকল্পগুলির সাথে মিল রেখে, ঋণাত্মক মানটিই সঠিক।