যদি F(x) = px² + qx+r এবং p+q+r=0 হয়, তবে F(x) এর একটি উৎপাদক কোনটি?

কোনো বহুপদী \(F(x)\) এর উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহৃত হয়। উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, যদি \((x-a)\) কোনো বহুপদী \(F(x)\) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে \(F(a) = 0\) হবে। এর বিপরীতটিও সত্য, অর্থাৎ যদি \(F(a) = 0\) হয়, তবে \((x-a)\) হবে \(F(x)\) এর একটি উৎপাদক।

এখানে প্রদত্ত বহুপদীটি হলো:

\(F(x) = px^2 + qx+r\)

এবং একটি শর্ত দেওয়া আছে:

\(p+q+r=0\)

এখন, আমরা বহুপদীটিতে \(x=1\) বসিয়ে দেখি এর মান কত হয়। যদি \(F(1) = 0\) হয়, তবে উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী \((x-1)\) একটি উৎপাদক হবে।

\(F(1) = p(1)^2 + q(1) + r\)

\(F(1) = p + q + r\)

যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া আছে \(p+q+r=0\), তাই আমরা লিখতে পারি:

\(F(1) = 0\)

উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, যেহেতু \(F(1)=0\) হয়েছে, তাই \((x-1)\) বহুপদী \(F(x)\) এর একটি উৎপাদক।