যদি $P\left(x\right)=x^3-x^2-10x-8$ হয়, নিচের কোনটি P(x) এর একটি উৎপাদক?

কোনো বহুপদী \( P(x) \) এর একটি উৎপাদক \( (x-a) \) হবে, যদি এবং কেবল যদি \( P(a) = 0 \) হয়। একে উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) বলে। এখানে, আমরা প্রদত্ত \( P(x) \) এর জন্য প্রতিটি অপশন যাচাই করে দেখব কোনটি \( P(x) \) এর উৎপাদক।

দেওয়া আছে, \( P(x) = x^3 - x^2 - 10x - 8 \)

বিস্তারিত সমাধান:

১. অপশন (1) \( x + 4 \) এর জন্য:

যদি \( (x+4) \) একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \( P(-4) = 0 \) হবে।

\( P(-4) = (-4)^3 - (-4)^2 - 10(-4) - 8 \)

\( = -64 - 16 + 40 - 8 \)

\( = -80 + 40 - 8 \)

\( = -40 - 8 \)

\( = -48 \neq 0 \)

সুতরাং, \( (x+4) \) উৎপাদক নয়।

২. অপশন (2) \( x + 2 \) এর জন্য:

যদি \( (x+2) \) একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \( P(-2) = 0 \) হবে।

\( P(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 - 10(-2) - 8 \)

\( = -8 - 4 + 20 - 8 \)

\( = -12 + 20 - 8 \)

\( = 8 - 8 \)

\( = 0 \)

যেহেতু \( P(-2) = 0 \), সুতরাং \( (x+2) \) হলো \( P(x) \) এর একটি উৎপাদক।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো \( x+2 \)।

শিক্ষার্থীদের বোঝার সুবিধার্থে, বাকি অপশনগুলোও নিচে যাচাই করা হলো:

৩. অপশন (3) \( x - 1 \) এর জন্য:

যদি \( (x-1) \) একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \( P(1) = 0 \) হবে।

\( P(1) = (1)^3 - (1)^2 - 10(1) - 8 \)

\( = 1 - 1 - 10 - 8 \)

\( = 0 - 10 - 8 \)

\( = -18 \neq 0 \)

সুতরাং, \( (x-1) \) উৎপাদক নয়।

৪. অপশন (4) \( x - 2 \) এর জন্য:

যদি \( (x-2) \) একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \( P(2) = 0 \) হবে।

\( P(2) = (2)^3 - (2)^2 - 10(2) - 8 \)

\( = 8 - 4 - 20 - 8 \)

\( = 4 - 20 - 8 \)

\( = -16 - 8 \)

\( = -24 \neq 0 \)

সুতরাং, \( (x-2) \) উৎপাদক নয়।