রজা একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা 5 বার নিক্ষেপ করল। মুদ্রার উপরের পিঠে মাথার সংখ্যা নির্দেশকারী চলক কোনটি?

বার্ণোলী প্রচেষ্টা (Bernoulli Trial)

বার্ণোলী প্রচেষ্টা হলো এমন একটি পরীক্ষা বা ঘটনা যা শুধুমাত্র দুটি সম্ভাব্য ফলাফলে শেষ হয়: সফলতা (Success) বা ব্যর্থতা (Failure)। প্রতিটি প্রচেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা স্থির থাকে।

বৈশিষ্ট্য

১. প্রতিটি প্রচেষ্টা স্বাধীন এবং পূর্বের প্রচেষ্টার ফলাফল পরবর্তী প্রচেষ্টাকে প্রভাবিত করে না।
২. প্রতিটি প্রচেষ্টায় দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে:

• সফলতা (Success), \( p \) এর সম্ভাবনা।
• ব্যর্থতা (Failure), \( 1 - p \) এর সম্ভাবনা।
  ৩. প্রচেষ্টা সীমিত সংখ্যক বার সম্পন্ন হয়।

উদাহরণ

• একটি মুদ্রা নিক্ষেপ, যেখানে হেড \( p = 0.5 \)।
• একটি ডাই নিক্ষেপ, যেখানে \( 6 \) আসার সম্ভাবনা \( p = \frac{1}{6} \)।

দ্বিপদী চলক (Binomial Random Variable)

দ্বিপদী চলক একটি বিশেষ ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যা বার্ণোলী প্রচেষ্টাগুলির ফলাফল গুলিকে মডেল করে। এটি নির্দিষ্ট সংখ্যক প্রচেষ্টায় সফলতার সংখ্যা গণনা করে।

বৈশিষ্ট্য

১. মোট \( n \) বার প্রচেষ্টা সম্পন্ন হয়।
২. প্রতিটি প্রচেষ্টা একটি বার্ণোলী প্রচেষ্টা।
৩. সফলতার সম্ভাবনা \( p \) ধ্রুবক।
৪. ব্যর্থতার সম্ভাবনা \( q = 1 - p \)।

দ্বিপদী চলকের উদাহরণ

• \( X \): একটি মুদ্রা নিক্ষেপের ১০ বার প্রচেষ্টায় সফলতার সংখ্যা।
• \( Y \): একটি নির্দিষ্ট পরীক্ষায় ১৫ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে উত্তীর্ণ শিক্ষার্থীর সংখ্যা।

দ্বিপদী বিন্যাস (Binomial Distribution)

দ্বিপদী বিন্যাস হল এমন একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাস যা একাধিক বার্ণোলী প্রচেষ্টার ফলাফল মডেল করে। এটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক প্রচেষ্টায় \( k \) বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করে।

সূত্র

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]

যেখানে:

• \( P(X = k) \): \( k \) বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা।
• \( n \): মোট প্রচেষ্টার সংখ্যা।
• \( k \): সফলতার সংখ্যা।
• \( p \): সফলতার সম্ভাবনা।
• \( (1-p) \): ব্যর্থতার সম্ভাবনা।
• \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \): কম্বিনেশন।

উদাহরণ

ধরা যাক, একটি মুদ্রা ৫ বার নিক্ষেপ করা হয়েছে। সফলতার সম্ভাবনা \( p = 0.5 \)।

• সফলতার সংখ্যা \( k = 3 \)।
• সূত্র অনুযায়ী:

\[
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^{5-3}
\]

পার্থক্য

সারসংক্ষেপ

বার্ণোলী প্রচেষ্টা একটি একক ঘটনা বা পরীক্ষা যেখানে দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে। একাধিক বার্ণোলী প্রচেষ্টার সফলতার সংখ্যা গণনা করতে দ্বিপদী চলক ব্যবহার করা হয়। এই চলকের সম্ভাব্যতা বিন্যাসকে বলা হয় দ্বিপদী বিন্যাস। এটি বাস্তব জীবনের বহু সমস্যার মডেলিংয়ে গুরুত্বপূর্ণ।