রেখাটি ও অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সরল রেখার সমীকরণটি হলো:

\(3x - 5y = 30\)

রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে রেখাটির \(x\) ও \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু দুটি নির্ণয় করতে হবে। এই ছেদবিন্দুগুলো এবং মূলবিন্দু \((0,0)\) মিলে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু গঠন করে।

১. \(x\)-অক্ষের ছেদবিন্দু নির্ণয়:

\(x\)-অক্ষের উপর \(y = 0\) হয়। সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণে \(y = 0\) বসিয়ে পাই:

\(3x - 5(0) = 30\)

\(3x = 30\)

\(x = \frac{30}{3}\)

\(x = 10\)

সুতরাং, রেখাটি \(x\)-অক্ষকে \((10, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে। এই ছেদবিন্দু থেকে মূলবিন্দু পর্যন্ত দূরত্বই ত্রিভুজের ভূমি হবে, যা \(|10| = 10\) একক।

২. \(y\)-অক্ষের ছেদবিন্দু নির্ণয়:

\(y\)-অক্ষের উপর \(x = 0\) হয়। সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণে \(x = 0\) বসিয়ে পাই:

\(3(0) - 5y = 30\)

\(-5y = 30\)

\(y = \frac{30}{-5}\)

\(y = -6\)

সুতরাং, রেখাটি \(y\)-অক্ষকে \((0, -6)\) বিন্দুতে ছেদ করে। এই ছেদবিন্দু থেকে মূলবিন্দু পর্যন্ত দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা হবে, যা \(|-6| = 6\) একক।

অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ভূমি \(10\) একক এবং উচ্চতা \(6\) একক।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:

ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\)

ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} \times 10 \times 6\)

ক্ষেত্রফল \( = 5 \times 6\)

ক্ষেত্রফল \( = 30\) বর্গ একক।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি একটি সরলরেখার সমীকরণ \(Ax + By = C\) আকারে থাকে, তবে রেখাটি ও অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সরাসরি একটি সূত্র ব্যবহার করা যায়:

ক্ষেত্রফল \( = \frac{C^2}{2|AB|}\)

প্রদত্ত সমীকরণ \(3x - 5y = 30\) থেকে আমরা পাই:

    
• \(A = 3\)
    
• \(B = -5\)
    
• \(C = 30\)

এখন, সূত্রটিতে মান বসিয়ে পাই:

ক্ষেত্রফল \( = \frac{(30)^2}{2|3 \times (-5)|}\)

ক্ষেত্রফল \( = \frac{900}{2|-15|}\)

ক্ষেত্রফল \( = \frac{900}{2 \times 15}\)

ক্ষেত্রফল \( = \frac{900}{30}\)

ক্ষেত্রফল \( = 30\) বর্গ একক।