সমবৃত্তভূমিক ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি অর্ধগোলক, একটি কোণক ও একটি সিলিন্ডারের আয়তনের অনুপাত নিচের কোনটি?

ধরি, অর্ধগোলক, কোণক ও সিলিন্ডার তিনটিরই ভূমির ব্যাসার্ধ \(r\) এবং উচ্চতা \(h\)।

প্রশ্নানুসারে, তিনটি বস্তুর ভূমি সমবৃত্তভূমিক এবং উচ্চতা সমান।

একটি অর্ধগোলকের ক্ষেত্রে, এর উচ্চতা সর্বদা এর ব্যাসার্ধের সমান হয়। অর্থাৎ, \(h = r\)।

যেহেতু কোণক ও সিলিন্ডারের উচ্চতাও অর্ধগোলকের উচ্চতার সমান, তাই তিনটির ক্ষেত্রেই \(h = r\) প্রযোজ্য হবে।

এখন, বস্তু তিনটির আয়তনের সূত্রগুলো ব্যবহার করি:

    
• অর্ধগোলকের আয়তন, \(V_{\text{অর্ধগোলক}} = \frac{2}{3}\pi r^3\)
    
• কোণকের আয়তন, \(V_{\text{কোণক}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
    
• সিলিন্ডারের আয়তন, \(V_{\text{সিলিন্ডার}} = \pi r^2 h\)

যেহেতু \(h = r\), উপরের সূত্রগুলোতে \(h\) এর পরিবর্তে \(r\) বসিয়ে পাই:

    
• অর্ধগোলকের আয়তন, \(V_{\text{অর্ধগোলক}} = \frac{2}{3}\pi r^3\)
    
• কোণকের আয়তন, \(V_{\text{কোণক}} = \frac{1}{3}\pi r^2 (r) = \frac{1}{3}\pi r^3\)
    
• সিলিন্ডারের আয়তন, \(V_{\text{সিলিন্ডার}} = \pi r^2 (r) = \pi r^3\)

এখন, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি:

\(V_{\text{অর্ধগোলক}} : V_{\text{কোণক}} : V_{\text{সিলিন্ডার}}\)

\( = \frac{2}{3}\pi r^3 : \frac{1}{3}\pi r^3 : \pi r^3\)

উভয় পক্ষকে \(\pi r^3\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\( = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} : 1\)

ভগ্নাংশ দূর করার জন্য, অনুপাতের প্রতিটি পদকে 3 দ্বারা গুণ করি:

\( = 3 \times \frac{2}{3} : 3 \times \frac{1}{3} : 3 \times 1\)

\( = 2 : 1 : 3\)

সুতরাং, অর্ধগোলক, কোণক ও সিলিন্ডারের আয়তনের অনুপাত হলো 2 : 1 : 3।