সময়ের সাপেক্ষে অন্তরকলন করে সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন বস্তুর অন্তরক সমীকরণ থেকে কী পাওয়া যায়?

৮.৪। সরল দোলন গতির অন্তরক বা ব্যবকলনীয় সমীকরণ

Differential Equation of Simple Harmonic Motion

 সরল দোলন গতির সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি, বল সরণের সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী। কোনো কণার উপর ক্রিয়াশীল বল F এবং সরণ x হলে সরল দোলন গতির ক্ষেত্রে,

$F\propto -x$

$F\propto -kx$

এ ধ্রুবক k কে বলা হয় বল ধ্রুবক। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে বস্তুর ভর m এবং ত্বরণ a হলে, F = ma

:- ma =- Kx

কিন্তু ত্বরণ $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ 

:- $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$ 

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{k}{m}x$ 

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$  …(8.3)

আমরা যদি $\frac{k}{m}=\omega$²লিখি, তাহলে এ সমীকরণ দাঁড়ায়,

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$ .. .. (8.4)

এ সমীকরণে অন্তরক (derivative) সংশ্লিষ্ট, কাজেই এ সমীকরণটি একটি অন্তরক বা ব্যবকলনী সমীকরণ। এ সমীকরণ থেকে সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার সরণ x কীভাবে সময় এর উপর নির্ভর করে তা জানা যায়। কোনো কণার সরণ x কীভাবে সময়। এর উপর নির্ভর করে তা জানার অর্থই হচ্ছে কণাটির গতি সম্পর্কে জানা। যেহেতু (8.4) সমীকরণ সমাধান করলে সময়ের সাথে সরণের সম্পর্ক তথা গতি সম্পর্কে জানা যায়, তাই এ সমীকরণকে সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণ বলা হয়। এ সমীকরণের দুটি উল্লেখযোগ্য সাধারণ সমাধান হচ্ছে

$x=A \sin \left(\omega t+\varsigma \right)$

$x=B \cos \left(\omega t+\psi \right)$