$\frac{৪}{৫}=ক,\frac{৪৯}{১৮০}=খ$ হলে-

i. ক ও খ পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়
ii. $\sqrt{কখ}$ মূলদ সংখ্যা
iii. $\frac{ক}{খ}$পূর্ণবর্গ সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?

এখানে প্রদত্ত আছে:

    
• \(ক = \frac{৪}{৫}\)
    
• \(খ = \frac{৪ ৯}{১ ৮ ০}\)

এখন, আমরা প্রতিটি উক্তি বিশ্লেষণ করব:

উক্তি i: ক ও খ পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।

একটি ভগ্নাংশ পূর্ণবর্গ হবে যদি তার লব ও হর উভয়ই পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।

    
• ক এর জন্য: \(ক = \frac{৪}{৫}\)         
  এখানে, লব ৪ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (\(২^২ = ৪\)), কিন্তু হর ৫ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।         
  সুতরাং, \(\frac{৪}{৫}\) একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।
    
• খ এর জন্য: \(খ = \frac{৪ ৯}{১ ৮ ০}\)         
  এখানে, লব ৪৯ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (\(৭^২ = ৪ ৯\))।         
  হর ১৮০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হলো: \(১ ৮০ = ২ \times ২ \times ৩ \times ৩ \times ৫ = ২^২ \times ৩^২ \times ৫\)। যেহেতু মৌলিক উৎপাদক ৫ এর ঘাত জোড় সংখ্যা নয়, তাই ১৮০ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।         
  সুতরাং, \(\frac{৪ ৯}{১ ৮ ০}\) একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।

অতএব, উক্তি i সঠিক।

উক্তি ii: \(\sqrt{ক খ}\) মূলদ সংখ্যা।

প্রথমে আমরা \(ক খ\) এর মান নির্ণয় করি:

\(ক খ = \frac{৪}{৫} \times \frac{৪ ৯}{১ ৮ ০}\)

\(ক খ = \frac{৪ \times ৪ ৯}{৫ \times ১ ৮ ০}\)

৪ এবং ১৮০ কে ৪ দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(ক খ = \frac{১ \times ৪ ৯}{৫ \times ৪৫}\)

\(ক খ = \frac{৪ ৯}{২ ২৫}\)

এখন \(\sqrt{ক খ}\) এর মান নির্ণয় করি:

\(\sqrt{ক খ} = \sqrt{\frac{৪ ৯}{২ ২৫}}\)

\(\sqrt{\frac{৪ ৯}{২ ২৫}} = \frac{\sqrt{৪ ৯}}{\sqrt{২ ২৫}}\)

\(\sqrt{৪ ৯} = ৭\) এবং \(\sqrt{২ ২৫} = ১৫\)

সুতরাং, \(\sqrt{ক খ} = \frac{৭}{১৫}\)।

\(\frac{৭}{১৫}\) একটি ভগ্নাংশ যা দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত, তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

অতএব, উক্তি ii সঠিক।

উক্তি iii: \(\frac{ক}{খ}\) পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

প্রথমে আমরা \(\frac{ক}{খ}\) এর মান নির্ণয় করি:

\(\frac{ক}{খ} = \frac{\frac{৪}{৫}}{\frac{৪ ৯}{১ ৮ ০}}\)

\(\frac{ক}{খ} = \frac{৪}{৫} \times \frac{১ ৮ ০}{৪ ৯}\)

১৮০ এবং ৫ কে ৫ দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\frac{ক}{খ} = \frac{৪}{১} \times \frac{৩৬}{৪ ৯}\)

\(\frac{ক}{খ} = \frac{৪ \times ৩৬}{৪ ৯}\)

\(\frac{ক}{খ} = \frac{১ ৪ ৪}{৪ ৯}\)

এখন আমরা দেখি \(\frac{১ ৪ ৪}{৪ ৯}\) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা কিনা।

    
• লব ১ ৪ ৪ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (\(১২^২ = ১ ৪ ৪\))।
    
• হর ৪ ৯ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (\(৭^২ = ৪ ৯\))।

যেহেতু ভগ্নাংশটির লব ও হর উভয়ই পূর্ণবর্গ সংখ্যা, তাই \(\frac{১ ৪ ৪}{৪ ৯}\) একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ।

অতএব, উক্তি iii সঠিক।

উপসংহার: উক্তি i, ii এবং iii তিনটিই সঠিক।