৫:৬ এর দ্বিগুণানুপাত কোনটি

সমতুল অনুপাত

কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলা হয়।

যেমন, ২ : ৫ = $\frac{২}{৫}$ = $\frac{২\times ২ }{৫\times ২}$ = $\frac{৪}{১০}$ = ৪ : ১০

$\therefore$ ২ : ৫ ও ৪ : ১০ সমতুল অনুপাত।

কোনো অনুপাতের অসংখ্য সমতুল অনুপাত রয়েছে। যেমন, ২ : ৩, ৪ : ৬, ৬ : ৯ ও ৮ : ১২ সমতুল অনুপাত। আবার, ১ : ২ = ৫ : $\square$ হলে, এখানে শূন্যস্থানে ১০ বসালে অনুপাতটি সমতুল অনুপাত হবে।

লক্ষ করি:

• একটি অনুপাতের রাশি দুইটিকে তাদের গ.সা.গু. দ্বারা ভাগ করে অনুপাতটিকে সরলীকরণ করা যায়।
• অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশির সমষ্টি দ্বারা তাদেরকে ভাগ করে প্রত্যেকের অংশ নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ১। জেসমিন ও আবিদার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩ :২ এবং আবিদা ও আনিকার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ :১। আনিকার বর্তমান বযস ৩ বছর ৬ মাস।

(ক) উদ্দীপকের প্রথম অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ কর।
(খ) ৫ বছর পর আবিদার বয়স কত হবে?
(গ) আনিকার বর্তমান বয়স জেসমিনের বর্তমান বয়সের শতকরা কত ভাগ?

সমাধান:

(ক) উদ্দীপকের প্রথম অনুপাত = ৩ : ২

$=\frac{৩}{২}$

$=\frac{৩ \times ১০০ }{২\times ১০০}$

$=\left(\frac{৩\times ১০০}{২}\right)\%$

= ১৫০ %

(খ) আবিদার বর্তমান বয়স: আনিকার বর্তমান বয়স= ৫ : ১ অর্থাৎ, আবিদার বর্তমান বয়স, আনিকার বর্তমান বয়সের ৫ গুণ

আনিকার বর্তমান বয়স = ৩ বছর ৬ মাস

= (৩$\times$১২+৬) মাস [$\because$১ বছর ১২ মাস]

= (৩৬+৬) মাস

= ৪২ মাস

সুতরাং আবিদার বর্তমান বয়স (৪২$\times$৫) মাস

= ২১০ মাস
= $\frac{২১০ }{১২}$ বছর [১ : ১২ মাস=১বছর]

= $\frac{\cancel{ {২১০}^{৩৫}}}{\cancel{১{২}^{২}}}$ বছর

$=\frac{৩৫}{২}$বছর
$=১৭\frac{১}{২}$ বছর

$\because$ ৫ বছর পর আবিদার বয়স হবে $=\left(১৭\frac{১}{২}+৫\right)$বছর

$= ২২\frac{১}{২}$বছর

(গ) জেসমিন ও আবিদার বর্তমান বয়সের অনুপাত = ৩ : ২

অর্থাৎ, জেসমিনের বর্তমান বয়স, আবিদার বর্তমান বয়সের = $\frac{৩}{২}$ গুণ

'খ' হতে আবিদার বর্তমান বয়স = $১৭\frac{১}{২}$ বছর

$\therefore$ জেসমিনের বর্তমান বয়স = $১৭\frac{১}{২}\times \frac{৩}{২}$ বছর

$=\left(\frac{৩৫}{২}\times \frac{৩}{২}\right)$ বছর

$=\frac{১০৫}{৪}=২৬\frac{১}{৪}$ বছর

আনিকার বর্তমান বয়স = ৩ বছর ৬ মাস

= $৩\frac{৬}{১২}$ বছর [$\because$১২ মাস=১বছর ]

= $৩\frac{১}{২}$বছর

= $\frac{৭}{২}$ বছর

$\therefore$ আনিকার বর্তমান বয়স জেসমিনের বর্তমান বয়সের

=$\left(\frac{৭}{২}÷২৬\frac{১}{৪}\right)$ অংশ
$= \left(\frac{\cancel{৭}}{\cancel{২}}\times \frac{\cancel{৪}}{\cancel{১০৫}}\right)$ অংশ

= $\frac{২}{১৫}$ অংশ

= $\left(\frac{২\times \cancel{১০০}}{\cancel{১৫}}\right)$ অংশ

= $\frac{৪০}{৩}\%$

= ১৩ $\frac{১}{৩}$%

অতএব আনিকার বর্তমান বয়স জেসমিনের বর্তমান বয়সের $১৩\frac{১}{৩}\%$

উদাহরণ ২। ৫০০ টাকা দুইজন শ্রমিকের মাঝে ২: ৩ অনুপাতে ভাগ করে দিতে হবে।

সমাধান: অনুপাতের পূর্ব রাশি ২ এবং উত্তর রাশি ৩। রাশি দুইটির সমষ্টি = ২ + ৩ = ৫।
$\therefore$ ১ম শ্রমিক পাবে, ৫০০ টাকার $\frac{২}{৫}$ অংশ অংশ = ৫০০ টাকা $\times$ $\frac{২}{৫}$ = ২০০ টাকা

এবং ২য় শ্রমিক পাবে, ৫০০ টাকার $\frac{৩}{৫}$ অংশ = ৫০০ টাকা $\times$ $\frac{৩}{৫}$= ৩০০ টাকা

সরল অনুপাত

অনুপাতে দুইটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে।

সরল অনুপাতের প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলে। যেমন, ৩: ৫ একটি সরল অনুপাত, এখানে ৩ হলো পূর্ব রাশি ও ৫ হলো উত্তর রাশি।

লঘু অনুপাত

সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন, ৩: ৫, ৪: ৭ ইত্যাদি।

একটি বিদ্যালয়ের ৩য় শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গড় বয়স ৮ বছর এবং ৫ম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গড় বয়স ১০ বছর। এখানে ৩য় ও ৫ম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গড় বয়সের অনুপাত ৮: ১০ বা ৪:৫। এই অনুপাতটির পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি অপেক্ষা ছোট হওয়ায় এটি একটি লঘু অনুপাত।

গুরু অনুপাত

কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে বড় হলে, তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন, ৫: ৩,৭:৪,৬:৫ ইত্যাদি।

সাদিয়া ৩২ টাকা দিয়ে একটি বিস্কুটের প্যাকেট ও ২৫ টাকা দিয়ে একটি কোণ আইসক্রিম কিনলো। এখানে বিস্কুট ও আইসক্রিমের দামের অনুপাত হলো ৩২: ২৫, এই অনুপাতটির পূর্ব রাশি ৩২ যা
উত্তর রাশি ২৫ অপেক্ষা বড় হওয়ায় এটি একটি গুরু অনুপাত।

একক অনুপাত

যে সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান সে অনুপাতকে একক অনুপাত বলে।
যেমন, আরিফ ১৫ টাকা দিয়ে একটি বলপেন ও ১৫ টাকা দিয়ে একটি খাতা কিনলো। এখানে বলপেন ও খাতা উভয়টির মূল্য সমান এবং মূল্যের অনুপাত ১৫: ১৫ বা ১: ১। অতএব, ইহা একক অনুপাত।

ব্যস্ত অনুপাত

সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি এবং উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি করে প্রাপ্ত অনুপাতকে পূর্বের অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলে।
যেমন, ১৩: ৫ এর ব্যস্ত অনুপাত ৫: ১৩।

মিশ্র অনুপাত

একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

যেমন, ২: ৩ এবং ৫ ৭ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (২$\times$৫): (৩$\times$৭) = ১০ : ২১।

উদাহরণ ৩। প্রদত্ত সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় কর: ৫: ৭,৪: ৯, ৩:২।

সমাধান:
অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল ৫ $\times$ ৪ $\times$ ৩ = ৬০

এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = ৭$\times$৯ $\times$ ২ = ১২৬

নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত= ৬০ : ১২৬ বা ১০ : ২১।

উদাহরণ ৪। দুইটি সংখ্যার যোগফল ৩৬০। সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৪ ৫ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধান: সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৪ : ৫
অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = ৪+৫ = ৯।
প্রথম সংখ্যাটি = ৩৬০ এর $\frac{৪}{৯}$ অংশ
= $\cancel{৩৬০} \times \frac{৪}{\cancel{৯}} = ১৬০$

দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৩৬০ এর $\frac{৫ }{৯}$ অংশ

= $\cancel{৩৬০} \times \frac{৫}{\cancel{৯}} = ২০০$

নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি হলো ১৬০ ও ২০০।

উদাহরণ ৫। ৪০ কেজি মিশ্রণে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত ৪: ১। মিশ্রণটির বালি ও সিমেন্টের পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধান: মিশ্রণের পরিমাণ ৪০ কেজি।
বালি ও সিমেন্টের অনুপাত ৪: ১
এখানে, অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = ৪ + ১ = ৫।
$\therefore$বালির পরিমাণ = ৪০ কেজির = $\frac{8 }{৫}$ অংশ = ${}^{৮}\cancel{৪০}\times \frac{৪}{\cancel{৫}}$ কেজি = ৩২ কেজি

সিমেন্টের পরিমাণ = ৪০ কেজির $\frac{১}{৫}$ অংশ = ${}^{৮}\cancel{৪০}\times \frac{১}{\cancel{৫}}$কেজি = ৮ কেজি

উদাহরণ ৬। একটি বিদ্যালয়ে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭। ঐ বিদ্যালয়ে ছাত্রীসংখ্যা ৩৫০ জন হলে, ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান: ছাত্রসংখ্যা ছাত্রীসংখ্যা = ৫ : ৭

অর্থাৎ, ছাত্রের সংখ্যা ছাত্রীর সংখ্যার $\frac{৫}{৭}$ গুণ
দেওয়া আছে, ছাত্রীসংখ্যা ৩৫০ জন
ছাত্রের সংখ্যা = ${}^{৫০}\cancel{৩৫০}\times \frac{৫}{\cancel{{৭}_{১}}}$ জন

নির্ণেয় ছাত্রসংখ্যা ২৫০ জন।