$0.\dot{4}2\dot{1}$ হতে প্রাপ্ত গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত কত?

উদাহরণ ৩. নিম্নের পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাসমূহকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর কর:
ক) $0.\dot{5}$         খ) $0.\dot{1}\dot{2}$           গ) $1.\dot{2}3\dot{1}$

সমাধান:
ক) $0.\dot{5}=0.555.....=0.5+0.05+0.005+.....$

এই অসীম গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ $a=0.5$ এবং সাধারণ অনুপাত$r=\frac{0.05}{0.5}=0.1$ $\therefore 0.\dot{5}=\frac{a}{1-r}=\frac{0.5}{1-(0.1)}=\frac{0.5}{0.9}=\frac{5}{9}$

খ) $0.\dot{1}\dot{2}=0.12121212....=0.12+0.0012+0.000012+......$

এই অসীম গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ $a=0.12$ এবং সাধারণ অনুপাত $r=\frac{0.0012}{0.12}=0.01$
$\therefore 0.\dot{1}\dot{2}=\frac{a}{1-r}=\frac{0.12}{1-\left(0.01\right)}=\frac{0.12}{0.99}=\frac{4}{33}$

গ) $1.\dot{2}3\dot{1}=1.231231231.....$$=1+\left(0.231+0.000231+0.000000231+.....\right)$

এখানে, বন্ধনীর ভিতরের অংশটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।

আর সেই গুণোত্তর ধারার ১ম পদ $a=0.231$ এবং সাধারণ অনুপাত $r=\frac{0.000231}{0.231}=0.001$

$\therefore 1.\dot{2}3\dot{1}=1+\frac{a}{1-r}=1+\frac{0.231}{1-\left(0.001\right)}=1+\frac{231}{999}=\frac{410}{333}$