13+9+5+ . . . -15= কত?

প্রদত্ত ধারাটি হলো: 13, 9, 5, . . . , -15

এই ধারাটির পদগুলোর মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করে দেখি:

    
• দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = \(9 - 13 = -4\)
    
• তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = \(5 - 9 = -4\)

যেহেতু পদগুলোর মধ্যে সাধারণ পার্থক্য (common difference) একই, এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)।

এখানে,

    
• প্রথম পদ (a) = 13
    
• সাধারণ অন্তর (d) = -4
    
• শেষ পদ (\(a_n\)) = -15

প্রথমে, আমরা ধারার পদ সংখ্যা (n) নির্ণয় করব। সমান্তর ধারার n-তম পদের সূত্র হলো:

\(a_n = a + (n-1)d\)

মান বসিয়ে পাই:

\(-15 = 13 + (n-1)(-4)\)

\(-15 - 13 = -4(n-1)\)

\(-28 = -4(n-1)\)

\(\frac{-28}{-4} = n-1\)

\(7 = n-1\)

\(n = 7 + 1\)

\(n = 8\)

অর্থাৎ, ধারাটিতে মোট 8টি পদ আছে।

এবার আমরা ধারাটির সমষ্টি (\(S_n\)) নির্ণয় করব। সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র হলো:

\(S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)\)

মান বসিয়ে পাই:

\(S_8 = \frac{8}{2}(13 + (-15))\)

\(S_8 = 4(13 - 15)\)

\(S_8 = 4(-2)\)

\(S_8 = -8\)

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি হলো -8।