$4\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+100x = 0$ সমীকরণ অনুসারে সরল ছন্দিত স্পন্দনরত কণার কৌণিক কম্পাংক-

৮.৪। সরল দোলন গতির অন্তরক বা ব্যবকলনীয় সমীকরণ

Differential Equation of Simple Harmonic Motion

 সরল দোলন গতির সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি, বল সরণের সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী। কোনো কণার উপর ক্রিয়াশীল বল F এবং সরণ x হলে সরল দোলন গতির ক্ষেত্রে,

$F\propto -x$

$F\propto -kx$

এ ধ্রুবক k কে বলা হয় বল ধ্রুবক। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে বস্তুর ভর m এবং ত্বরণ a হলে, F = ma

:- ma =- Kx

কিন্তু ত্বরণ $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ 

:- $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$ 

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{k}{m}x$ 

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$  …(8.3)

আমরা যদি $\frac{k}{m}=\omega$²লিখি, তাহলে এ সমীকরণ দাঁড়ায়,

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$ .. .. (8.4)

এ সমীকরণে অন্তরক (derivative) সংশ্লিষ্ট, কাজেই এ সমীকরণটি একটি অন্তরক বা ব্যবকলনী সমীকরণ। এ সমীকরণ থেকে সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার সরণ x কীভাবে সময় এর উপর নির্ভর করে তা জানা যায়। কোনো কণার সরণ x কীভাবে সময়। এর উপর নির্ভর করে তা জানার অর্থই হচ্ছে কণাটির গতি সম্পর্কে জানা। যেহেতু (8.4) সমীকরণ সমাধান করলে সময়ের সাথে সরণের সম্পর্ক তথা গতি সম্পর্কে জানা যায়, তাই এ সমীকরণকে সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণ বলা হয়। এ সমীকরণের দুটি উল্লেখযোগ্য সাধারণ সমাধান হচ্ছে

$x=A \sin \left(\omega t+\varsigma \right)$

$x=B \cos \left(\omega t+\psi \right)$