6 mg/cc ঘনত্বের 12 g পদার্থকে 10 m লম্বা তার বানানো হল। পদার্থের আপেক্ষিক রোধ $2\times {10}^{-8}\Omega -m$ হলে তারটির রোধ কত?

তারের রোধ নির্ণয়ের জন্য আমাদের তারটির দৈর্ঘ্য (L), উপাদানের আপেক্ষিক রোধ (\(\rho\)) এবং প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল (A) প্রয়োজন। রোধের সূত্র হলো:

\[R = \frac{\rho L}{A}\]

এখানে, আপেক্ষিক রোধ (\(\rho\)) এবং দৈর্ঘ্য (L) দেওয়া আছে, কিন্তু প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল (A) সরাসরি দেওয়া নেই। প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমরা পদার্থের ভর (m) এবং ঘনত্ব (\(\rho'\)) ব্যবহার করব।

পদার্থের আয়তন \(V = \frac{m}{\rho'}\)।

আবার, তারের আয়তন \(V = A \times L\)।

সুতরাং, \(A \times L = \frac{m}{\rho'}\)

এই সম্পর্ক থেকে আমরা A নির্ণয় করতে পারি: \(A = \frac{m}{\rho' L}\)

এবং এটিকে রোধের সূত্রে বসিয়ে পাই: \(R = \frac{\rho L}{\frac{m}{\rho' L}} = \frac{\rho \rho' L^2}{m}\)

প্রদত্ত মানসমূহ:

    
• পদার্থের ঘনত্ব (\(\rho'\)) = 6 mg/cc। যেহেতু mg/cc (মিলোগ্রাম প্রতি ঘন সেন্টিমিটার) একটি অত্যন্ত কম ঘনত্ব যা তারের মতো কঠিন পদার্থের জন্য বাস্তবসম্মত নয় (এটি বাতাসের ঘনত্বের চেয়েও কম), এবং সাধারণত এ ধরনের প্রশ্নে 'g/cc' বোঝানো হয়, তাই আমরা ধরে নিচ্ছি যে ঘনত্বটি 6 g/cc বা 6 g/cm³।
    
• 6 g/cm³ কে SI এককে (kg/m³) রূপান্তর: \(6 \text{ g/cm}^3 = 6 \times \frac{10^{-3} \text{ kg}}{(10^{-2} \text{ m})^3} = 6 \times \frac{10^{-3} \text{ kg}}{10^{-6} \text{ m}^3} = 6 \times 10^3 \text{ kg/m}^3\)।
    
• পদার্থের ভর (m) = 12 g = \(12 \times 10^{-3}\) kg।
    
• তারের দৈর্ঘ্য (L) = 10 m।
    
• পদার্থের আপেক্ষিক রোধ (\(\rho\)) = \(2 \times 10^{-8} \Omega-m\)।

ধাপসমূহ:

১. প্রথমে তারটির প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল (A) নির্ণয় করি:

\[A = \frac{m}{\rho' L}\]

\[A = \frac{12 \times 10^{-3} \text{ kg}}{(6 \times 10^3 \text{ kg/m}^3) \times (10 \text{ m})}\]

\[A = \frac{12 \times 10^{-3}}{60 \times 10^3} \text{ m}^2\]

\[A = \frac{12 \times 10^{-3}}{6 \times 10^4} \text{ m}^2\]

\[A = 2 \times 10^{-7} \text{ m}^2\]

২. এরপর তারটির রোধ (R) নির্ণয় করি:

\[R = \frac{\rho L}{A}\]

\[R = \frac{(2 \times 10^{-8} \Omega-m) \times (10 \text{ m})}{2 \times 10^{-7} \text{ m}^2}\]

\[R = \frac{20 \times 10^{-8}}{2 \times 10^{-7}} \Omega\]

\[R = 10 \times 10^{(-8 - (-7))} \Omega\]

\[R = 10 \times 10^{-1} \Omega\]

\[R = 1 \Omega\]

সুতরাং, তারটির রোধ হবে \(1 \Omega\)।