70 students are enrolled in Management, Accounting and Marketing courses. 40 students are in Management, 35 in Accounting and 30 in marketing. 15 students are enrolled in all three courses. l-low many of the students are enrolled in exactly two of the courses? '

এই সমস্যাটি সমাধান করতে, আমরা সেটের অন্তর্ভুক্তিকরণ-বর্জন নীতি (Principle of Inclusion-Exclusion) ব্যবহার করব।

প্রদত্ত তথ্য:

    
• মোট শিক্ষার্থী (Total students), \(N(M \cup A \cup K)\) = 70
    
• ম্যানেজমেন্টে শিক্ষার্থী (Management), \(N(M)\) = 40
    
• অ্যাকাউন্টিংয়ে শিক্ষার্থী (Accounting), \(N(A)\) = 35
    
• মার্কেটিংয়ে শিক্ষার্থী (Marketing), \(N(K)\) = 30
    
• তিনটি কোর্সেই শিক্ষার্থী (All three courses), \(N(M \cap A \cap K)\) = 15

আমরা জানি, তিনটি সেটের জন্য অন্তর্ভুক্তিকরণ-বর্জন নীতি অনুসারে:

\(N(M \cup A \cup K) = N(M) + N(A) + N(K) - [N(M \cap A) + N(M \cap K) + N(A \cap K)] + N(M \cap A \cap K)\)

এখানে, \(N(M \cap A) + N(M \cap K) + N(A \cap K)\) হলো দুইটি কোর্সে অথবা তিনটি কোর্সে এনরোল করা শিক্ষার্থীদের মোট সংখ্যা (প্রত্যেক ইন্টারসেকশন একবার গণনা করা হয়েছে)। একে আমরা \(S_2\) দ্বারা চিহ্নিত করতে পারি।

মান বসিয়ে পাই:

\(70 = 40 + 35 + 30 - S_2 + 15\)

\(70 = 105 - S_2 + 15\)

\(70 = 120 - S_2\)

\(S_2 = 120 - 70\)

\(S_2 = 50\)

এই \(S_2\) মানটি হলো ম্যানেজমেন্ট ও অ্যাকাউন্টিং (M ∩ A), ম্যানেজমেন্ট ও মার্কেটিং (M ∩ K) এবং অ্যাকাউন্টিং ও মার্কেটিং (A ∩ K) কোর্সের ইন্টারসেকশনের যোগফল। এই যোগফলের মধ্যে যারা তিনটি কোর্সেই আছে, তাদের তিনবার যোগ করা হয়েছে।

শুধুমাত্র ঠিক দুইটি কোর্সে এনরোল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\( \text{Number of students in exactly two courses} = S_2 - 3 \times N(M \cap A \cap K) \)

এখানে, \(N(M \cap A \cap K)\) হলো তিনটি কোর্সেই এনরোল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা।

মান বসিয়ে পাই:

\( \text{Number of students in exactly two courses} = 50 - 3 \times 15 \)

\( = 50 - 45 \)

\( = 5 \)

সুতরাং, ঠিক দুইটি কোর্সে এনরোল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা হলো 5 জন।