$800 kg{m}^{-3}$ ঘনত্ব ও ${10}^{-4}$ ব্যাসার্ধের একটি তেল ফোটা $1.5kg{m}^{-3}$ ঘনত্ব ও $1.85\times {10}^{-5}NS{m}^{-2}$ সান্দ্রতা গুণাংকের বায়ুর মধ্য দিয়ে পড়লে উহার প্রান্তিক বেগ কত?

স্টোকসের সূত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে, কোনো বস্তুর উপর বাধাদানকারী বল এর বেগের সমানুপাতিক। যদি y = 0 হয়, F= 0 এবং v বাড়লে F বাড়ে। এ থেকে বলা যায় যে, কোনো সান্দ্ৰপ্র বাহী দিয়ে যদি কোনো গোলক অভিকর্ষের প্রভাবে পতিত হয় তাহলে আদিতে অভিকর্ষজ ত্বরণের জন্য এর বেগ বৃদ্ধি পেতে থাকে কিন্তু যুগপৎভাবে এর উপর বাধাদানকারী বল F বৃদ্ধি পায় ফলে বস্তুটির নিট ত্বরণ কমতে থাকে। এক সময় বস্তুটির নিট ত্বরণ শূন্য হয়। বস্তুটি তখন ধ্রুব বেগ নিয়ে পতিত হতে থাকে। এই বেগকে বলা হয় অন্ত্যবেগ বা প্রান্তিক বেগ । 

যেমন বায়ুর ভিতর দিয়ে শিলার পতন, নদীর বা সমুদ্রের পানিতে ভারী কঠিন বস্তুর পতনে একই ঘটনা ঘটে। এগুলোর পড়ার সময় এক সময় নিট ত্বরণ শূন্য হয় এবং সমবেগে সান্দ্র তরল দিয়ে পড়তে থাকে। 

অস্ত্য বেগ v এর জন্য আমরা একটি রাশিমালা প্রতিপাদন করতে চাই।

মনে করা যাক, কোনো সান্দ্র তরলের ভেতর একটি গোলক পতিত হচ্ছে (চিত্র : ৭.১৭)। গোলকের উপর ক্রিয়াশীল বল হলো 

(ক) নিম্নমুখী বল তথা গোলকের ওজন W

(খ) ঊর্ধ্বমুখী বল তথা প্লবতা U এবং

(গ) ঊর্ধ্বমুখী বাধাদানকারী বল তথা সান্দ্র পশ্চাৎটান F

 আদিতে নিম্নমুখী বল W ঊর্ধ্বমুখী বল U + F এর চেয়ে বড়। ফলে গোলকটির নিম্নমুখী ত্বরণ থাকে। গোলকটির বেগ বৃদ্ধির সাথে সান্দ্র পশ্চাৎটানও বৃদ্ধি পায়, ফলে U + F এক সময় W এর সমান হয়। তখন গোলকটি নিচের দিকে চলতে থাকে এবং এর উপর নিট বল কাজ করে না এবং এর বেগ একটি ধ্রুব সর্বোচ্চ মান লাভ করে, একে বলা হয় অন্ত্য বেগ v। 

এখন,

গোলকের ভর m , ব্যাসার্ধ, আয়তন V এবং উপাদানের ঘনত্ব p. হলে, এর ওজন

$W=mg=V{\rho }_{s}g=\frac{4}{3}{\pi }^3{\rho }_{s}g$

তরলের ঘনত্ব ${\rho }_{\int }$ হলে, প্লবতা 

  U= অপসারিত তরলের ওজন

প্রবাহীর সান্দ্রতা সহগ η হলে, স্টোকসের সূত্রানুসারে সান্দ্র পশ্চাৎটান

গোলকটি অন্ত্যবেগ প্রাপ্ত হলে F+U = W

অনেক সময় আমরা দেখতে পাই পানির মধ্যে বায়ুর বুদবুদ উপরে ওঠে। এক্ষেত্রে অন্ত্য বেগের সমীকরণ হলো

$v=2r^2\frac{({\rho }_f-{\rho }_s)}{9\eta }$

যেখানে P : পানির ঘনত্ব এবং p_s = বায়ুর বুদবুদের ঘনত্ব

যেহেতু বায়ু বুদবুদের ঘনত্ব p_s, পানির ঘনত্বের তুলনায় অনেক কম (p_s, << p_f), তাই p_s কে উপেক্ষা করে উপরিউক্ত সমীকরণকে বায়ু বুদবুদের জন্য লেখা যায়,

$v=\frac{2r^2{p}_{f}g}{9\eta }$