A→ = 2i^ + 4j^ এবং B= i^ + 2j^ হলে, (A→ - B→) এবং (A→ + B→) এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

$\vec{A} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$ এবং $B = \hat{i} + 2 \hat{j}$ হলে, $(\vec{A} - \vec{B})$ এবং $(\vec{A} + \vec{B})$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

Created: 1 year ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

90°
খ

180°
গ

45°
ঘ

0°

548

ব্যাখ্যাঃ

দুটি ভেক্টর $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, তাদের ডট গুণফলের সূত্র অনুসারে:
$\cos\theta = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}| |\vec{Q}|}$
প্রদত্ত ভেক্টরগুলো হলো:
$\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j}$
$\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j}$

প্রথমে $(\vec{A} - \vec{B})$ এবং $(\vec{A} + \vec{B})$ ভেক্টর দুটি নির্ণয় করি।

ধরি, $\vec{P} = \vec{A} - \vec{B}$
$\vec{P} = (2\hat{i} + 4\hat{j}) - (\hat{i} + 2\hat{j})$
$\vec{P} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j}$
$\vec{P} = \hat{i} + 2\hat{j}$

এবং ধরি, $\vec{Q} = \vec{A} + \vec{B}$
$\vec{Q} = (2\hat{i} + 4\hat{j}) + (\hat{i} + 2\hat{j})$
$\vec{Q} = (2+1)\hat{i} + (4+2)\hat{j}$
$\vec{Q} = 3\hat{i} + 6\hat{j}$

এখন $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ ভেক্টরের ডট গুণফল নির্ণয় করি:

$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j})$
$= (1)(3) + (2)(6)$
$= 3 + 12$
$= 15$

এবার $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ ভেক্টরের মান (magnitude) নির্ণয় করি:

$|\vec{P}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$|\vec{Q}| = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45}$
$= \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

এখন, মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ নির্ণয়ের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি:

$\cos\theta = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}| |\vec{Q}|}$
$\cos\theta = \frac{15}{\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}$
$\cos\theta = \frac{15}{3 \times 5}$
$\cos\theta = \frac{15}{15}$
$\cos\theta = 1$

আমরা জানি, $\cos 0^\circ = 1$।
সুতরাং, $\theta = 0^\circ$।

💡 শর্টকাট টেকনিক:
আমরা পেয়েছি,
$\vec{P} = \hat{i} + 2\hat{j}$
$\vec{Q} = 3\hat{i} + 6\hat{j}$
যদি $\vec{Q}$ কে লক্ষ্য করি, তাহলে দেখা যায় $\vec{Q} = 3(\hat{i} + 2\hat{j})$।
অর্থাৎ, $\vec{Q} = 3\vec{P}$।
যেহেতু $\vec{Q}$ ভেক্টরটি $\vec{P}$ ভেক্টরের একটি ধনাত্মক স্কেলার গুণিতক, তাই ভেক্টর দুটি সমান্তরাল এবং একই দিকে ক্রিয়াশীল। দুটি সমান্তরাল ও একই দিকবর্তী ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ $0^\circ$ হয়।

Satt AI

2 months ago

MCQ: 315 CQ: 62

Practice

ভেক্টর

১.১ সূচনা

Introduction

বিজ্ঞানের বিভিন্ন বিষয় সুনির্দিষ্টভাবে জানতে হলে কোন বা কোন ধরনের পরিমাপের প্রয়োজন হয়। পদার্থের যে সব ভৌত বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করা যায় তাদেরকে রাশি (quantity) বলে। যেমন, দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, আয়তন, বেগ, কাজ ইত্যাদি প্রত্যেকে এক একটি রাশি। পদার্থবিজ্ঞানের অন্তর্গত যে কোন রাশিকে ভৌত (physical) রাশি বলে।

কিছু কিছু ভৌত রাশিকে শুধুমাত্র মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায়। আবার অনেক ভৌত রাশি রয়েছে যাদেরকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ই প্রয়োজন হয়। তাই ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য অনুসারে ভৌত রাশিগুলোকে আমরা দুই ভাগে বিভক্ত করতে পারি ; যথা—

(ক) স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি (Scalar quantity)।

(খ) ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বা সদিক রাশি (Vector quantity)।

(ক) স্কেলার রাশি :

যে সব ভৌত রাশির শুধু মান আছে, কিন্তু দিক নেই, তাদেরকে স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি বলে। যেমন দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, জনসংখ্যা, তাপমাত্রা, তাপ, বৈদ্যুতিক বিভব, দ্রুতি, কাজ ইত্যাদি কেলার বা অদিক রাশি।

(খ) ভেক্টর রাশি :

যে সব ভৌত রাশির মান এবং দিক দুই-ই আছে, তাদেরকে ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বলে। যেমন সরণ, বেগ, ত্বরণ, মন্দন, বল, ওজন ইত্যাদি ভেক্টর বা দিক রাশি।

১.২ ভেক্টর রাশির নির্দেশনা

Representation of a vector

কোন একটি ভেক্টর রাশিকে দুভাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে, যথা- (১) অক্ষর দ্বারা এবং (২) সরলরেখা দ্বারা।

১। অক্ষর দ্বারা কোন একটি ভেক্টর রাশিকে চারভাবে প্রকাশ করা হয়, যথা-

(ক) কোন অক্ষরের উপর তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখা দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। সাধারণভাবে শুধু অক্ষর দ্বারাও রাশিটির মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ | A | বা A

(খ) কোন অক্ষরের উপর রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ । A

(গ) কোন অক্ষরের নিচে রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ $A$ এবং মান রূপ | $A$ |

(ঘ) মোটা হরফের অক্ষর দিয়ে ভেক্টর রাশি প্রকাশ করা হয়। যেমন A অক্ষরের ভেক্টর রূপ $A$ এবং এর মান A ভেক্টর রাশি নির্দেশের ক্ষেত্রে (ক)-এ ব্যবহৃত চিহ্নই শ্রেয়। তাই এই বই-এ আমরা এই পদ্ধতিই ব্যবহার করব।

২। সরলরেখা দ্বারা ভেক্টর রাশি নির্দেশ করতে হলে রাশিটির দিকে বা সমান্তরালে একটি সরলরেখা অংকন করে সরলরেখাটির শেষ প্রান্তে একটি তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির দিক এবং কোন স্কেলে উত্ত সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। এ পদ্ধতিকে জ্যামিতিক উপায়ে ভেক্টরের নির্দেশনাও বলে।

মনে করি, একটি ভেক্টর রাশির মান 5 এবং এর দিক পূর্ব দিক। একে সরলরেখা দ্বারা প্রকাশ করতে হবে। এখন AC একটি সরলরেখা পূর্ব- পশ্চিম দিক বরাবর অংকন করে AC সরলরেখা হতে সুবিধামত দৈর্ঘ্যকে একক ধরে এর 5 গুণ দৈর্ঘ্য AB কেটে নিই এবং AB-এর শেষ প্রান্তে পূর্ব দিকে তীর চিহ্ন যুক্ত করি [চিত্র ১:১]। এই তীর চিহ্নিত সরলরেখাই ভেক্টর রাশিটি নির্দেশ করবে। ভেক্টর রাশি নির্দেশী সরলরেখার তীর চিহ্নিত প্রান্ত B-কে শীর্ষবিন্দু বা অন্ত বিন্দু এবং অপর প্রান্ত A-কে আদিবিন্দু বা মূলবিন্দু বা পাদবিন্দু বলে।

Notification