A = {0,1,2,3} এবং R = {(x,y): x ∈ A, у ∈ A} এবং y = x+1} হলে, রেঞ্জ নির্ণয় করুন।

অন্বয় (Relation)

দুইটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে নির্দিষ্ট নিয়মে গঠিত সম্পর্ককে অন্বয় (Relation) বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B এর মধ্যে কিছু নির্বাচিত ordered pair এর সমষ্টিকে অন্বয় বলা হয়।

প্রতীক

অন্বয়কে সাধারণত R দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$R\subseteq A\times B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2,3\}$

এবং B = A, তাহলে একটি অন্বয় হতে পারে “ছোট বা সমান (≤)” সম্পর্ক:

$R=\left\{\right(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3\left)\right\}$

অন্বয়ের প্রকারভেদ

১. স্বপরিচয় অন্বয় (Identity Relation)

যেখানে প্রতিটি উপাদান নিজেকেই সম্পর্কিত করে।

$R=\left\{\right(a,a\left)\right\}$

২. সার্বজনীন অন্বয় (Universal Relation)

যেখানে A × B এর সকল ordered pair থাকে।

$R=A\times B$

৩. শূন্য অন্বয় (Empty Relation)

যেখানে কোনো ordered pair থাকে না।

$R=\varnothing$

বৈশিষ্ট্য

• অন্বয় হলো কার্তেসীয় গুণজের উপসেট
• Ordered pair দ্বারা গঠিত
• দুই সেটের মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করে
• বিভিন্ন ধরনের হতে পারে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

অন্বয় মানে হলো “দুই সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে সম্পর্ক”।

মনে রাখার উপায়

“Relation = সেটের মধ্যে সম্পর্ক দেখায়” — এইভাবে মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

আমরা জানি, বাংলাদেশের রাজধানী ঢাকা, ভারতের রাজধানী নতুন দিল্লী এবং থাইল্যান্ডের রাজধানী ব্যাংকক। এখানে দেশের সাথে রাজধানীর একটি অন্বয় বা সম্পর্ক আছে। এ সম্পর্ক হচ্ছে দেশ-রাজধানী অন্বয়। উক্ত সম্পর্ককে সেট আকারে নিম্নরূপে দেখানো যায় :

অর্থাৎ দেশ-রাজধানীর অন্বয় = {(বাংলাদেশ, ঢাকা), (ভারত, নতুন দিল্লী ), (থাইল্যান্ড, ব্যাংকক)}।

যদি A ও B দুইটি সেট হয় তবে সেটদ্বয়ের কার্তেসীয় গুণজ A × B সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলোর অশূন্য উপসেট R কে A সেট হতে B সেটের একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়। এখানে, R সেট A × B সেটের একটি উপসেট অর্থাৎ, R ⊆ A × B

উদাহরণ ১. মনে করি, A = {3, 5} এবং B = {2, 4}

$\therefore$ A × B = {3, 5} × {2, 4} = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

$\therefore$ R ⊆ {(3,2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

যখন A সেটের একটি উপাদান ও B সেটের একটি উপাদান y এবং (x, y) ∈ R হয় তবে লেখা হয় x R y এবং পড়া হয় x, y এর সাথে অন্বিত (x is related to y) অর্থাৎ উপাদান x, উপাদান Y এর সাথে R সম্পর্কযুক্ত।

যদি x > y শর্ত হয় তবে, R = {(3,2), (5, 2), (5, 4)}

এবং যদি x < y শর্ত হয় তবে, R = {(3, 4)}

আবার, A সেট হতে A সেটের একটি অন্বয় অর্থাৎ R ⊆ A × A হলে, R কে A এর অন্বয় বলা হয়।

A এবং B দুইটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে সম্পর্ক দেওয়া থাকলে x ∈ A এর সংগে সম্পর্কিত y ∈ B নিয়ে যে সব ক্রমজোড় (x, y) পাওয়া যায়, এদের অশূন্য উপসেট হচ্ছে একটি অন্বয়।

উদাহরণ ২. যদি P = {2, 3, 4}, Q = {4,6} এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = 2x সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {2, 3, 4} এবং Q = {4, 6}

প্রশ্নানুসারে, R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = 2x}

এখানে, P × Q = {2, 3, 4} × {4, 6} = {(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 4), (4, 6)}

$\therefore$ R= {(2,4), (3, 6)}

নির্ণেয় অন্বয় {(2, 4), ( 3, 6)}

উদাহরণ ৩. যদি A = {1, 2, 3}, B {0, 2, 4} এবং A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x = y - 1 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় বর্ণনা কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3}, B = {0, 2, 4}

প্রশ্নানসারে, অন্বয় R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B এবং x = y - 1}

এখানে, A × B = {1, 2, 3} × {0, 2, 4}

= {(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4)}

$\therefore$ R = {(1, 2), (3, 4)}