A frog is sitting on vertex A of a square ABCD. It starts jumping to the immediately adjacent vertex on either side in random fashion and stops when it reaches point C, in how many ways can it reach paint C if it makes exactly 7 jumps?

একটি বর্গক্ষেত্র ABCD-এর শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A, B, C, D। ব্যাঙটি A বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে এবং ঠিক 7টি লাফের মাধ্যমে C বিন্দুতে পৌঁছাবে। প্রতিটি লাফে ব্যাঙটি তার তাৎক্ষণিক সংলগ্ন (immediately adjacent) শীর্ষবিন্দুতে লাফ দেয়। ব্যাঙটি C বিন্দুতে পৌঁছালে থামে, অর্থাৎ 7ম লাফে তাকে অবশ্যই C বিন্দুতে থাকতে হবে এবং 7টি লাফেই যাত্রা সম্পন্ন হবে।

বর্গক্ষেত্রটির গঠন অনুযায়ী, শীর্ষবিন্দুগুলোর মধ্যে সংযোগ নিম্নরূপ:

    
• A সংলগ্ন B এবং D
    
• B সংলগ্ন A এবং C
    
• C সংলগ্ন B এবং D
    
• D সংলগ্ন A এবং C

আমরা লক্ষ্য করি যে, A এবং C বিন্দুগুলো একে অপরের কোণাকুণি (diagonally opposite) অবস্থিত। B এবং D বিন্দুগুলোও একে অপরের কোণাকুণি অবস্থিত।

একটি শীর্ষবিন্দু থেকে তার সংলগ্ন শীর্ষবিন্দুতে যেতে 1টি লাফ লাগে।

যদি ব্যাঙটি A বিন্দুতে থাকে (0 লাফ):

    
• 0 লাফে: A (A থেকে A-এর দূরত্ব 0, যা একটি জোড় সংখ্যা)

পরবর্তী লাফগুলোর জন্য প্রতিটি বিন্দুর A থেকে 'দূরত্ব' (ন্যূনতম লাফ সংখ্যা) এর জোড়/বিজোড় প্রকৃতি দেখি:

    
• A থেকে: B এবং D (1 লাফ - বিজোড় দূরত্ব)
    
• B অথবা D থেকে: A এবং C (1 লাফ - বিজোড় দূরত্ব)

সুতরাং, A থেকে শুরু করে:

    
• জোড় সংখ্যক লাফের পর ব্যাঙটি A অথবা C বিন্দুতে থাকতে পারে। (কারণ A থেকে A-তে ফিরতে অথবা A থেকে C-তে যেতে সর্বনিম্ন 2টি লাফ লাগে, যা জোড় সংখ্যা)
    
• বিজোড় সংখ্যক লাফের পর ব্যাঙটি B অথবা D বিন্দুতে থাকতে পারে। (কারণ A থেকে B অথবা D-তে যেতে সর্বনিম্ন 1টি লাফ লাগে, যা বিজোড় সংখ্যা)

যেহেতু ব্যাঙটিকে ঠিক 7টি লাফ দিতে হবে, এবং 7 একটি বিজোড় সংখ্যা, তাই 7ম লাফের পর ব্যাঙটি B অথবা D বিন্দুতে থাকবে। এটি কোনোভাবেই C বিন্দুতে থাকতে পারবে না।

এটি আরও সুস্পষ্টভাবে বোঝার জন্য, আমরা প্রতিটি ধাপে প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে পৌঁছানোর উপায়গুলো গণনা করতে পারি (যেখানে C একটি শোষক (absorbing) অবস্থা হিসেবে বিবেচিত হবে না, কারণ প্রশ্নটি "ঠিক 7টি লাফ" নির্দেশ করে):

ধরি, \(a_n, b_n, c_n, d_n\) হলো n লাফের পর যথাক্রমে A, B, C, D বিন্দুতে পৌঁছানোর উপায় সংখ্যা।

প্রাথমিক অবস্থা (\(n=0\)):

\(a_0 = 1\) (ব্যাঙ A-তে আছে)

\(b_0 = 0\)

\(c_0 = 0\)

\(d_0 = 0\)

পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক (Recurrence Relation):

\(a_n = b_{n-1} + d_{n-1}\)

\(b_n = a_{n-1} + c_{n-1}\)

\(c_n = b_{n-1} + d_{n-1}\)

\(d_n = a_{n-1} + c_{n-1}\)

গণনা:

    
• \(n=0\): \(a_0=1, b_0=0, c_0=0, d_0=0\)
    
• \(n=1\):         
              
  • \(a_1 = b_0 + d_0 = 0+0 = 0\)
              
  • \(b_1 = a_0 + c_0 = 1+0 = 1\)
              
  • \(c_1 = b_0 + d_0 = 0+0 = 0\)
              
  • \(d_1 = a_0 + c_0 = 1+0 = 1\)
          
      
    
• \(n=2\):         
              
  • \(a_2 = b_1 + d_1 = 1+1 = 2\)
              
  • \(b_2 = a_1 + c_1 = 0+0 = 0\)
              
  • \(c_2 = b_1 + d_1 = 1+1 = 2\)
              
  • \(d_2 = a_1 + c_1 = 0+0 = 0\)
          
      
    
• \(n=3\):         
              
  • \(a_3 = b_2 + d_2 = 0+0 = 0\)
              
  • \(b_3 = a_2 + c_2 = 2+2 = 4\)
              
  • \(c_3 = b_2 + d_2 = 0+0 = 0\)
              
  • \(d_3 = a_2 + c_2 = 2+2 = 4\)
          
      
    
• \(n=4\):         
              
  • \(a_4 = b_3 + d_3 = 4+4 = 8\)
              
  • \(b_4 = a_3 + c_3 = 0+0 = 0\)
              
  • \(c_4 = b_3 + d_3 = 4+4 = 8\)
              
  • \(d_4 = a_3 + c_3 = 0+0 = 0\)
          
      
    
• \(n=5\):         
              
  • \(a_5 = b_4 + d_4 = 0+0 = 0\)
              
  • \(b_5 = a_4 + c_4 = 8+8 = 16\)
              
  • \(c_5 = b_4 + d_4 = 0+0 = 0\)
              
  • \(d_5 = a_4 + c_4 = 8+8 = 16\)
          
      
    
• \(n=6\):         
              
  • \(a_6 = b_5 + d_5 = 16+16 = 32\)
              
  • \(b_6 = a_5 + c_5 = 0+0 = 0\)
              
  • \(c_6 = b_5 + d_5 = 16+16 = 32\)
              
  • \(d_6 = a_5 + c_5 = 0+0 = 0\)
          
      
    
• \(n=7\):         
              
  • \(a_7 = b_6 + d_6 = 0+0 = 0\)
              
  • \(b_7 = a_6 + c_6 = 32+32 = 64\)
              
  • \(c_7 = b_6 + d_6 = 0+0 = 0\)
              
  • \(d_7 = a_6 + c_6 = 32+32 = 64\)
          
      

উপরোক্ত গণনা অনুযায়ী, ঠিক 7টি লাফের পর C বিন্দুতে পৌঁছানোর উপায় সংখ্যা হলো \(c_7 = 0\)।

অতএব, প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।