$\frac{a^2-5a+6}{a^2-9}$ এর লঘিষ্ঠ রূপ কোনটি? 

প্রদত্ত ভগ্নাংশটি হলো:

\(\frac{a^2-5a+6}{a^2-9}\)

ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ (সরলতম) রূপে প্রকাশ করার জন্য, এর লব (numerator) এবং হর (denominator) উভয়কেই উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

১. লবের উৎপাদক বিশ্লেষণ:

লব হলো \(a^2-5a+6\)

এটি একটি দ্বিঘাত রাশি। এর উৎপাদক বের করার জন্য মধ্যপদ বিভাজন (middle term break) পদ্ধতি ব্যবহার করব। আমরা এমন দুটি সংখ্যা খুঁজব যাদের গুণফল \(6\) এবং যোগফল \(-5\)। সংখ্যা দুটি হলো \(-2\) এবং \(-3\)।

অতএব,

\(a^2-5a+6 = a^2-2a-3a+6\)

\(= a(a-2) - 3(a-2)\)

\(= (a-2)(a-3)\)

২. হরের উৎপাদক বিশ্লেষণ:

হর হলো \(a^2-9\)

এটি \((x^2-y^2)\) আকারের একটি রাশি, যেখানে \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\)।

এখানে, \(a^2-9 = a^2-3^2\)

\(= (a-3)(a+3)\)

৩. ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ রূপে প্রকাশ:

এখন, উৎপাদক বিশ্লেষণ করা লব ও হরকে ভগ্নাংশে বসাই:

\(\frac{(a-2)(a-3)}{(a-3)(a+3)}\)

লব ও হরে সাধারণ উৎপাদক \((a-3)\) আছে। যদি \(a-3 \neq 0\) অর্থাৎ \(a \neq 3\) হয়, তাহলে আমরা সাধারণ উৎপাদকটি বাদ দিতে পারি।

অতএব,

\(\frac{(a-2)\cancel{(a-3)}}{\cancel{(a-3)}(a+3)} = \frac{a-2}{a+3}\)

সুতরাং, প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ রূপ হলো \(\frac{a-2}{a+3}\)

এটি অপশন ১ এর সাথে মিলে যায়।