$a^2+ac+c^2$ এর মান কত?

2,4,8,16 ইত্যাদি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বের করে পাই,

2 = 2,2 আছে 1 বার
4=2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 2 বার
8=2$\times$2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 3 বার
16=2$\times$2$\times$2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 4 বার

কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়।

লক্ষণীয় যে, 2 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি একবার আছে, এখানে সূচক 1 এবং ভিত্তি 2। 4 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি 2 বার আছে। কাজেই সূচক 2 এবং ভিত্তি 2। আবার, ৪ এবং 16 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি যথাক্রমে 3 বার এবং 4 বার আছে। সেজন্য ৪ এর সূচক 3 ও ভিত্তি 2 এবং 16 এর সূচক 4 ও ভিত্তি 2

ঘাত বা শক্তি

এ একটি বীজগণিতীয় রাশি। একে এ দ্বারা এক বার, দুই বার, তিন বার গুণ করলে হবে:

$a\times a=a^2$ যেখানে a² কে a এর দ্বিতীয় ঘাত বলে এবং a² কে পড়া হয় এ এর বর্গ

$a\times a\times a=a^3$ যেখানে a³ কে a এর তৃতীয় ঘাত বলে এবং a³ কে পড়া হয় এ এর ঘন

$a\times a\times a\times a=a^4$ যেখানে a⁴ কে a এর চতুর্থ ঘাত বলে, ইত্যাদি।

অনুরূপভাবে, এ কে যদি n বার গুণ করা হয় তবে আমরা পাই $a \times a\times a\times$ ________ $\times a$ (n বার) = aⁿ। এখানে aⁿ কে a এর ॥ তম ঘাত বা শক্তি বলে এবং n হবে ঘাতের সূচক ও a হবে ভিত্তি। সুতরাং a² এর ক্ষেত্রে a এর ঘাত বা সূচক 2 ও ভিত্তি a; a³ এর ক্ষেত্রে ৫ এর ঘাত বা সূচক 3 ও ভিত্তি a, ইত্যাদি।

সংখ্যার ক্ষেত্রে সূচক থেকে আমরা একটি সূচকমুক্ত ফলাফল পাই, কিন্তু অক্ষরের ক্ষেত্রে সূচক থেকে ফলাফল সূচক আকারেই থাকে।

উদাহরণস্বরূপ,

$2^3+3^2=2\times 2\times 2+3\times 3=8+9=17$

$a^4+2^4=a\times a\times a\times a+2\times 2\times 2\times 2\times 2=a^4+16$

উদাহরণ ৮। সরল কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) a x a^2 \\ \left(ii\right) a^3 x a^2 \\ \left(iii\right) a x a^3 \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a\times a^2=a\times a\times a=a^3 \\ \left(ii\right)a^3\times a^2=(a\times a\times a)(a\times a)=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a=a^5 \\ \left(iii\right)a^4\times a^3=(a\times a\times a\times a)(a\times a\times a)=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a=a^7 \end{gathered}$$

লক্ষ করি:

$$\begin{gathered} a\times a^2=a^1\times a^2=a^3=a^{1+2} \\ {a}^3\times a^2=a^5=a^{3+2} \\ {a}^4\times a^3=a^7=a^{4+3} \end{gathered}$$

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি, $\boxed{a^m \times a^n = a^{m+n}}$ m ও n স্বাভাবিক সংখ্যা। গুণনের এই প্রক্রিয়াকে বলা হয় সূচকের গুণনবিধি।

উদাহরণ ৯। গুণ কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) a^4\times a^5 \\ \left(ii\right) x^3 \times x^8 \\ \left(iii\right) x^5 \times x^9 \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^4\times a^5=a^{4+5}=a^9 \\ \left(ii\right)x^3\times x^8=x^{3+8}=x^{11} \\ \left(iii\right)x^5\times x^9=x^{5+9}=x^{14} \end{gathered}$$

উদাহরণ ১০। সরল কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) 2a\times 3b^2 \times 4c \times 6a^{2 }\times 5b^3 \\ \left(ii\right) a\times a\times a\times b\times c\times b\times c\times a\times c\times b. \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right) 2a\times 3b^2\times 4c\times 6a^2\times 5b^3 \\ =(2a\times 6a^2)\times (3b^2\times 5b^3)\times 4c \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =\left(2\times 6\times a^{1+2}\right) \times \left(3\times 5\times b^{2+3}\right) \times 4c \\ =12a^3\times 15b^{5 }\times 4c \\ =(12\times 15\times 4)a^3{b}^{5}c \\ =720a^3{b}^{5}c. \end{gathered}$$

(ii)

$$\begin{gathered} a\times a\times a\times b\times c\times b\times c\times a\times c\times b \\ =(a\times a\times ax\times a) \times (b\times b\times b) \times (c\times c\times c) \\ = a^4{b}^3{c}^3. \end{gathered}$$

উদাহরণ ১১ । a = 1 , b = 2 , c = 3 হলে, নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^2+b^2+c^2 \\ \left(ii\right) a^2 + 2ab-c \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^2+b^2+c^2 \\ =1^2+2^2+3^2=1+2\times 2+3\times 3 \\ = 1 + 4 + 9 = 14 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(ii\right) a^2+2ab-c \\ =1^2+2.1.2-3 \\ =1+4-3 \\ =5-3-2. \end{gathered}$$