$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$রাশিটি- 

i.  সমমাত্রিক 

ii.  চক্রক্রমিক 

iii.  প্রতিসম 

প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশিটি হলো: \(a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)\)

আমরা রাশির তিনটি বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করব:

    
1. সমমাত্রিক রাশি (Homogeneous Expression):
       কোনো বীজগাণিতিক রাশির প্রতিটি পদের মাত্রা (degree) সমান হলে তাকে সমমাত্রিক রাশি বলে। প্রদত্ত রাশিতে পদগুলো হলো:     
           
   • প্রথম পদ: \(a(b^2-c^2) = ab^2 - ac^2\)
           
               
   • \(ab^2\)-এর মাত্রা \(1+2 = 3\)
               
   • \(ac^2\)-এর মাত্রা \(1+2 = 3\)
           
           
   • দ্বিতীয় পদ: \(b(c^2-a^2) = bc^2 - ba^2\)
           
               
   • \(bc^2\)-এর মাত্রা \(1+2 = 3\)
               
   • \(ba^2\)-এর মাত্রা \(1+2 = 3\)
           
           
   • তৃতীয় পদ: \(c(a^2-b^2) = ca^2 - cb^2\)
           
               
   • \(ca^2\)-এর মাত্রা \(1+2 = 3\)
               
   • \(cb^2\)-এর মাত্রা \(1+2 = 3\)
           
       
       যেহেতু রাশির প্রতিটি পদের মাত্রা 3, তাই রাশিটি সমমাত্রিক। সুতরাং, (i) সঠিক।
       
    
2. চক্রক্রমিক রাশি (Cyclic Expression):
       যদি কোনো বীজগাণিতিক রাশি থেকে চলকগুলো (যেমন \(a, b, c\)) চক্রাকারে \(a \to b \to c \to a\) প্রতিস্থাপন করার পরেও রাশির মানের কোনো পরিবর্তন না হয়, তবে তাকে চক্রক্রমিক রাশি বলে।     

   প্রদত্ত রাশিটি হলো: \(E = a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)\)

       

   চলকগুলো চক্রাকারে প্রতিস্থাপন করে পাই:

       
           
   • \(a\) এর স্থলে \(b\)
           
   • \(b\) এর স্থলে \(c\)
           
   • \(c\) এর স্থলে \(a\)
       
       

   প্রতিস্থাপিত রাশিটি হবে:

       \(E' = b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)+a(b^2-c^2)\)     

   আমরা দেখতে পাচ্ছি যে \(E'\) এবং \(E\) একই রাশি। শুধুমাত্র পদগুলোর ক্রম পরিবর্তন হয়েছে। সুতরাং, রাশিটি চক্রক্রমিক। সুতরাং, (ii) সঠিক।

       
    
3. প্রতিসম রাশি (Symmetric Expression):
       যদি কোনো বীজগাণিতিক রাশিতে যেকোনো দুটি চলক (যেমন \(a\) ও \(b\), অথবা \(b\) ও \(c\), অথবা \(c\) ও \(a\)) পরস্পর স্থান পরিবর্তন করার পরেও রাশির মানের কোনো পরিবর্তন না হয়, তবে তাকে প্রতিসম রাশি বলে।     

   প্রদত্ত রাশিটি হলো: \(E = a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)\)

       

   এখন, \(a\) ও \(b\) চলক দুটি পরস্পর স্থান পরিবর্তন করে দেখি:

       
           
   • \(a\) এর স্থলে \(b\)
           
   • \(b\) এর স্থলে \(a\)
       
       

   প্রতিস্থাপিত রাশিটি হবে:

       \(E'' = b(a^2-c^2)+a(c^2-b^2)+c(b^2-a^2)\)     

   রাশিটিকে বিস্তৃত করে পাই:

       \(E = ab^2 - ac^2 + bc^2 - a^2b + a^2c - b^2c\)     

   \(E''\) কে বিস্তৃত করে পাই:

       \(E'' = ba^2 - bc^2 + ac^2 - ab^2 + cb^2 - ca^2\)     \(E'' = a^2b - bc^2 + ac^2 - ab^2 + b^2c - a^2c\)     

   লক্ষ্য করুন, \(E'' = -(ab^2 - ac^2 + bc^2 - a^2b + a^2c - b^2c) = -E\)।
       যেহেতু \(E'' \ne E\), তাই রাশিটি প্রতিসম নয়। সুতরাং, (iii) ভুল।

       

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ অনুযায়ী, প্রদত্ত রাশিটি সমমাত্রিক এবং চক্রক্রমিক।