B এর বাহুতে মোম লাগানোর পর A ও B এর কম্পাঙ্কের অণুপাত কত হবে?

প্রশ্নে প্রদত্ত তথ্যগুলো হলো:

    
• সুরশলাকা A এর কম্পাঙ্ক (\(f_A\)) = 100 Hz
    
• A ও B কে একত্রে শব্দায়িত করলে উৎপন্ন বিট সংখ্যা (\(n_1\)) = 8টি/সেকেন্ড
    
• B এর বাহুতে মোম লাগানোর পর A ও B কে শব্দায়িত করলে উৎপন্ন বিট সংখ্যা (\(n_2\)) = 6টি/সেকেন্ড

আমরা জানি, বিট সংখ্যা হলো দুটি কম্পাঙ্কের পার্থক্যের পরম মান।

১. B এর প্রাথমিক কম্পাঙ্ক (\(f_B\)) নির্ণয়:

প্রাথমিক অবস্থায় A ও B এর বিট সংখ্যা \(n_1 = |f_A - f_B|\) = 8 Hz।

তাহলে, \(|100 - f_B| = 8\)।

এখান থেকে দুটি সম্ভাবনা হতে পারে:

ক) \(100 - f_B = 8 \implies f_B = 100 - 8 = 92\) Hz

খ) \(f_B - 100 = 8 \implies f_B = 100 + 8 = 108\) Hz

২. মোম লাগানোর প্রভাব বিবেচনা:

আমরা জানি, সুরশলাকার বাহুতে মোম লাগালে তার ভর বৃদ্ধি পায়, যার ফলে সুরশলাকার কম্পাঙ্ক হ্রাস পায়। অর্থাৎ, B এর নতুন কম্পাঙ্ক (\(f_B'\)) হবে তার প্রাথমিক কম্পাঙ্কের (\(f_B\)) চেয়ে কম (\(f_B' < f_B\))।

৩. B এর মোম লাগানোর পরের কম্পাঙ্ক (\(f_B'\)) নির্ণয়:

মোম লাগানোর পর A ও B এর বিট সংখ্যা \(n_2 = |f_A - f_B'|\) = 6 Hz।

তাহলে, \(|100 - f_B'| = 6\)।

এখান থেকেও দুটি সম্ভাবনা হতে পারে:

ক) \(100 - f_B' = 6 \implies f_B' = 100 - 6 = 94\) Hz

খ) \(f_B' - 100 = 6 \implies f_B' = 100 + 6 = 106\) Hz

এখন, আমরা প্রথম ধাপের দুটি সম্ভাবনা এবং মোম লাগানোর প্রভাবের সাথে মিলিয়ে দেখব:

    
• যদি \(f_B = 92\) Hz হয়: এই ক্ষেত্রে \(f_B'\) অবশ্যই 92 Hz এর চেয়ে কম হতে হবে। কিন্তু দ্বিতীয় ধাপের ফলাফলে \(f_B'\) এর সম্ভাব্য মান 94 Hz বা 106 Hz, যা 92 Hz এর চেয়ে বেশি। সুতরাং, \(f_B = 92\) Hz গ্রহণযোগ্য নয়।
    
• যদি \(f_B = 108\) Hz হয়: এই ক্ষেত্রে \(f_B'\) অবশ্যই 108 Hz এর চেয়ে কম হতে হবে। দ্বিতীয় ধাপের ফলাফলে \(f_B'\) এর সম্ভাব্য মান 94 Hz অথবা 106 Hz। উভয় মানই 108 Hz এর চেয়ে কম, তাই এই দুটি মানই প্রাথমিকভাবে গ্রহণযোগ্য।

কিন্তু আরও একটি শর্ত আছে: মোম লাগানোর ফলে কম্পাঙ্ক (\(f_B\)) কমেছে এবং এর ফলে বিট সংখ্যাও (8 থেকে 6) কমেছে।

    
• যদি \(f_B = 108\) Hz হয় (অর্থাৎ \(f_B > f_A\)), তাহলে প্রাথমিক বিট সংখ্যা \(f_B - f_A = 108 - 100 = 8\) Hz। মোম লাগানোর ফলে \(f_B\) কমে গিয়ে \(f_B'\) হলে, \(f_B' - f_A\) এর মানও কমবে। এটি প্রদত্ত শর্ত (বিট সংখ্যা 8 থেকে 6 এ নেমেছে) এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।     
  সুতরাং, মোম লাগানোর পর বিট সংখ্যা হবে \(f_B' - f_A = 6\)।     
  এখানে, \(f_B' - 100 = 6 \implies f_B' = 100 + 6 = 106\) Hz।     
  এটি \(f_B = 108\) Hz এর চেয়ে কম, তাই এই মানটি সঠিক।

সুতরাং, মোম লাগানোর পর B এর কম্পাঙ্ক (\(f_B'\)) = 106 Hz।

৪. কম্পাঙ্কের অনুপাত নির্ণয়:

B এর বাহুতে মোম লাগানোর পর A ও B এর কম্পাঙ্কের অনুপাত হবে \(f_A : f_B'\)।

অনুপাত = \(100 : 106\)

উভয় পদকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই:

অনুপাত = \(50 : 53\)

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 50 : 53।