${}^{n}C_2 = {}^{n}C_3$ হলে, n এর মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\( \mmultiscripts{C}{2}{none}{mprescripts}{none}{n} = \mmultiscripts{C}{3}{none}{mprescripts}{none}{n} \)

আমরা জানি, কম্বিনেশনের সূত্র হলো \( \mmultiscripts{C}{r}{none}{mprescripts}{none}{n} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)

এই সূত্র ব্যবহার করে প্রদত্ত সমীকরণের উভয় পক্ষকে বিস্তৃত করি:

বামপক্ষ: \( \mmultiscripts{C}{2}{none}{mprescripts}{none}{n} = \frac{n!}{2!(n-2)!} \)

ডানপক্ষ: \( \mmultiscripts{C}{3}{none}{mprescripts}{none}{n} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \)

এখন, বামপক্ষ = ডানপক্ষ বসিয়ে পাই:

\( \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \)

উভয় পক্ষকে \( n! \) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু \( n! \neq 0 \) যখন \( n \ge 3 \)):

\( \frac{1}{2!(n-2)!} = \frac{1}{3!(n-3)!} \)

এখন, বজ্রগুণন করে পাই:

\( 3!(n-3)! = 2!(n-2)! \)

আমরা জানি, \( 3! = 3 \times 2! \) এবং \( (n-2)! = (n-2) \times (n-3)! \)। এই মানগুলো সমীকরণে বসাই:

\( (3 \times 2!) \times (n-3)! = 2! \times (n-2) \times (n-3)! \)

উভয় পক্ষ থেকে \( 2! \) এবং \( (n-3)! \) বাতিল করে পাই (যেহেতু \( 2! \neq 0 \) এবং \( (n-3)! \neq 0 \) যখন \( n \ge 3 \)):

\( 3 = n-2 \)

\( n = 3 + 2 \)

\( n = 5 \)

কম্বিনেশনের একটি বিশেষ ধর্ম আছে: যদি \( \mmultiscripts{C}{x}{none}{mprescripts}{none}{n} = \mmultiscripts{C}{y}{none}{mprescripts}{none}{n} \) হয় এবং \( x \neq y \) হয়, তাহলে \( n = x + y \) হয়।

প্রদত্ত সমীকরণে, \( \mmultiscripts{C}{2}{none}{mprescripts}{none}{n} = \mmultiscripts{C}{3}{none}{mprescripts}{none}{n} \)

এখানে \( x = 2 \) এবং \( y = 3 \)। যেহেতু \( 2 \neq 3 \), আমরা শর্টকাট ধর্মটি ব্যবহার করতে পারি:

\( n = x + y \)

\( n = 2 + 3 \)

\( n = 5 \)