$\frac{i}{1-i}$ এর মডুলাস কোনটি?

বিস্তারিত সমাধান:

যেকোনো জটিল সংখ্যা \(z = x + iy\) এর মডুলাস (modulus) হলো \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)।

প্রথমে প্রদত্ত জটিল সংখ্যাটিকে \(x + iy\) আকারে প্রকাশ করতে হবে।

দেওয়া আছে, জটিল সংখ্যাটি হলো: \(z = \frac{i}{1-i}\)

হর থেকে \(i\) অপসারণ করতে হরের অনুবন্ধী (conjugate) দ্বারা লব ও হরকে গুণ করতে হবে। \(1-i\) এর অনুবন্ধী হলো \(1+i\)।

\(z = \frac{i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i}\)

\(z = \frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)

\(z = \frac{i + i^2}{1^2 - i^2}\)

আমরা জানি, \(i^2 = -1\)। এই মানটি বসিয়ে পাই:

\(z = \frac{i - 1}{1 - (-1)}\)

\(z = \frac{-1 + i}{1 + 1}\)

\(z = \frac{-1 + i}{2}\)

\(z = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)

এখন, এটি \(x + iy\) আকারের একটি জটিল সংখ্যা, যেখানে \(x = -\frac{1}{2}\) এবং \(y = \frac{1}{2}\)।

সুতরাং, এর মডুলাস হবে:

\(|z| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\)

\(|z| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}\)

\(|z| = \sqrt{\frac{2}{4}}\)

\(|z| = \sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(|z| = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\)

\(|z| = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

💡 শর্টকাট টেকনিক:

জটিল সংখ্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো: \(|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)।

এখানে, \(z_1 = i\) এবং \(z_2 = 1-i\)।

প্রথমে \(z_1\) এর মডুলাস নির্ণয় করি:

\(|z_1| = |i| = |0 + 1i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1\)

এবার \(z_2\) এর মডুলাস নির্ণয় করি:

\(|z_2| = |1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)

সুতরাং, প্রদত্ত জটিল সংখ্যাটির মডুলাস হবে:

\(|\frac{i}{1-i}| = \frac{|i|}{|1-i|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)