If 0<a<b<c<d<e in the equation S=(a/b)+(c/d)+(1/e), then the greatest increase in S would result from adding 1 to the value of which variable?

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \(S = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{1}{e}\)

শর্ত অনুযায়ী: \(0 < a < b < c < d < e\)

আমাদেরকে বের করতে হবে কোন চলকের সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান সর্বাধিক বৃদ্ধি পাবে। এর জন্য আমরা প্রতিটি চলকের সাথে 1 যোগ করে \(S\) এর পরিবর্তনের হার (বা সরাসরি পরিবর্তন) বিশ্লেষণ করব।

1. যদি \(a\) এর সাথে 1 যোগ করা হয়:

    
• \(S\) এর নতুন মান হবে: \(S' = \frac{a+1}{b} + \frac{c}{d} + \frac{1}{e}\)
    
• \(S\) এর পরিবর্তন: \(\Delta S = S' - S = \left(\frac{a+1}{b} + \frac{c}{d} + \frac{1}{e}\right) - \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{1}{e}\right) = \frac{a+1}{b} - \frac{a}{b} = \frac{a+1-a}{b} = \frac{1}{b}\)
    
• অর্থাৎ, \(a\) এর সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান \(\frac{1}{b}\) পরিমাণ বৃদ্ধি পায়।

2. যদি \(b\) এর সাথে 1 যোগ করা হয়:

    
• \(S\) এর নতুন মান হবে: \(S' = \frac{a}{b+1} + \frac{c}{d} + \frac{1}{e}\)
    
• \(S\) এর পরিবর্তন: \(\Delta S = S' - S = \frac{a}{b+1} - \frac{a}{b} = \frac{ab - a(b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab - ab - a}{b(b+1)} = -\frac{a}{b(b+1)}\)
    
• যেহেতু \(a > 0\) এবং \(b > 0\), তাই \(\Delta S\) এর মান ঋণাত্মক। অর্থাৎ, \(b\) এর সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান \(\frac{a}{b(b+1)}\) পরিমাণ হ্রাস পায়।

3. যদি \(c\) এর সাথে 1 যোগ করা হয়:

    
• \(S\) এর নতুন মান হবে: \(S' = \frac{a}{b} + \frac{c+1}{d} + \frac{1}{e}\)
    
• \(S\) এর পরিবর্তন: \(\Delta S = S' - S = \frac{c+1}{d} - \frac{c}{d} = \frac{c+1-c}{d} = \frac{1}{d}\)
    
• অর্থাৎ, \(c\) এর সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান \(\frac{1}{d}\) পরিমাণ বৃদ্ধি পায়।

4. যদি \(d\) এর সাথে 1 যোগ করা হয়:

    
• \(S\) এর নতুন মান হবে: \(S' = \frac{a}{b} + \frac{c}{d+1} + \frac{1}{e}\)
    
• \(S\) এর পরিবর্তন: \(\Delta S = S' - S = \frac{c}{d+1} - \frac{c}{d} = \frac{cd - c(d+1)}{d(d+1)} = \frac{cd - cd - c}{d(d+1)} = -\frac{c}{d(d+1)}\)
    
• যেহেতু \(c > 0\) এবং \(d > 0\), তাই \(\Delta S\) এর মান ঋণাত্মক। অর্থাৎ, \(d\) এর সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান \(\frac{c}{d(d+1)}\) পরিমাণ হ্রাস পায়।

5. যদি \(e\) এর সাথে 1 যোগ করা হয়:

    
• \(S\) এর নতুন মান হবে: \(S' = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{1}{e+1}\)
    
• \(S\) এর পরিবর্তন: \(\Delta S = S' - S = \frac{1}{e+1} - \frac{1}{e} = \frac{e - (e+1)}{e(e+1)} = \frac{e - e - 1}{e(e+1)} = -\frac{1}{e(e+1)}\)
    
• যেহেতু \(e > 0\), তাই \(\Delta S\) এর মান ঋণাত্মক। অর্থাৎ, \(e\) এর সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান \(\frac{1}{e(e+1)}\) পরিমাণ হ্রাস পায়।

পর্যালোচনা করে দেখা যাচ্ছে যে, শুধুমাত্র \(a\) বা \(c\) এর সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান বৃদ্ধি পায়। অন্যান্য চলকের (b, d, e) সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান হ্রাস পায়।

এখন আমরা \(a\) এর সাথে 1 যোগ করলে প্রাপ্ত বৃদ্ধির পরিমাণ (\(\frac{1}{b}\)) এবং \(c\) এর সাথে 1 যোগ করলে প্রাপ্ত বৃদ্ধির পরিমাণ (\(\frac{1}{d}\)) এর মধ্যে তুলনা করব।

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী: \(0 < a < b < c < d < e\)

এই শর্ত থেকে আমরা পাই, \(b < d\)।

যখন দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার মধ্যে একটি ছোট হয়, তখন তাদের ব্যস্ত অনুপাত (reciprocal) বড় হয়।

সুতরাং, যদি \(b < d\) হয়, তাহলে \( \frac{1}{b} > \frac{1}{d} \)।

এর মানে হলো, \(a\) এর সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান \(\frac{1}{b}\) পরিমাণ বৃদ্ধি পায়, যা \(c\) এর সাথে 1 যোগ করলে প্রাপ্ত বৃদ্ধি (\(\frac{1}{d}\)) থেকে বেশি।

অতএব, \(a\) এর মানের সাথে 1 যোগ করলে \(S\) এর মান সর্বাধিক বৃদ্ধি পাবে।