If $\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}+1}+\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-1}= a+b\sqrt{7}$, values of a and b respectively are ____ .

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[ \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}+1} + \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-1} = a+b\sqrt{7} \]

বামপক্ষ (LHS) সরল করি:

\[ \frac{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}-1) + (\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)} \]

আমরা জানি, \((x-y)(x+y) = x^2-y^2\), \((x-y)^2 = x^2-2xy+y^2\) এবং \((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\)।

সুতরাং, হর (denominator) হবে:

\[ (\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1) = (\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6 \]

এবং লব (numerator) হবে:

\[ (\sqrt{7}-1)^2 + (\sqrt{7}+1)^2 \]

\[ = ((\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2) + ((\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2) \]

\[ = (7 - 2\sqrt{7} + 1) + (7 + 2\sqrt{7} + 1) \]

\[ = (8 - 2\sqrt{7}) + (8 + 2\sqrt{7}) \]

\[ = 8 - 2\sqrt{7} + 8 + 2\sqrt{7} \]

\[ = 16 \]

সুতরাং, বামপক্ষ (LHS) দাঁড়ায়:

\[ \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \]

এখন, আমরা পাই:

\[ \frac{8}{3} = a+b\sqrt{7} \]

এই সমীকরণটিকে \(a+b\sqrt{7}\) আকারে প্রকাশ করতে, আমরা \(b\sqrt{7}\) অংশটিকে শূন্য (\(0\sqrt{7}\)) ধরে নিতে পারি:

\[ \frac{8}{3} + 0\sqrt{7} = a+b\sqrt{7} \]

উভয় পক্ষ তুলনা করে পাই:

\[ a = \frac{8}{3} \]

\[ b = 0 \]

অতএব, a এবং b এর মান যথাক্রমে \(\frac{8}{3}\) এবং \(0\)।