If a, b and c are constants, a>b>c, and x³-x=(x-a)(x-b)(x-c) for all numbers x, what is the value of b?

মূল ও সহগ সম্পর্ক (Relation Between Roots and Coefficients)

বহুপদী সমীকরণের মূল এবং সহগের মধ্যে নির্দিষ্ট সম্পর্ককে মূল ও সহগ সম্পর্ক বলা হয়। এই সম্পর্কের মাধ্যমে সমীকরণের মূল নির্ণয়, নতুন সমীকরণ গঠন এবং বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a{x}^2+bx+c=0$

যেখানে a ≠ 0 এবং সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β।

মূলদ্বয়ের যোগফল

$\alpha +\beta =\frac{-b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$\alpha \beta =\frac{c}{a}$

মূল দ্বারা সমীকরণ গঠন

যদি মূলদ্বয় α এবং β হয়, তবে সমীকরণ হবে:

$x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0$

উদাহরণ

সমীকরণ:

$2x^2-5x+3=0$

এখানে,

$\alpha +\beta =\frac{5}{2}$

এবং

$\alpha \beta =\frac{3}{2}$

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

সাধারণ ত্রিঘাত সমীকরণ:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

সমীকরণের মূলত্রয় α, β ও γ হলে,

মূলত্রয়ের যোগফল

$\alpha +\beta +\gamma =\frac{-b}{a}$

দুইটি মূলের গুণফলের সমষ্টি

$\mathrm{\alpha \beta }+\mathrm{\beta \gamma }+\mathrm{\gamma \alpha }=\frac{c}{a}$

মূলত্রয়ের গুণফল

$\mathrm{\alpha \beta \gamma }=\frac{-d}{a}$

n ঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

যদি,

$a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_n=0$

এবং মূলগুলো α₁, α₂, ..., αₙ হয়, তবে

সমস্ত মূলের যোগফল

$\sum {\alpha }_1=\frac{-a_1}{a_0}$

দুইটি মূলের গুণফলের সমষ্টি

$\sum {\alpha }_1{\alpha }_2=\frac{a_2}{a_0}$

সব মূলের গুণফল

${\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n={(-1)}^n\times \frac{a_n}{a_0}$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• মূলের যোগফল সবসময় x এর সহগের বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয়
• মূলের গুণফল ধ্রুবক পদের সাথে সম্পর্কিত
• মূল জানা থাকলে সহজেই সমীকরণ গঠন করা যায়
• সহগ জানা থাকলে মূলের বিভিন্ন সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে:

$\alpha +\beta =\frac{-b}{a}$

এবং

$\alpha \beta =\frac{c}{a}$

— এই দুটি সূত্র সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।