If the height of a right square pyramid is increased by 12%, by what percent must the side of the base be increased, so that the volume of the pyramid is increased by 28%?

একটি সমকোণী বর্গাকার পিরামিডের (right square pyramid) আয়তনের সূত্র হলো:

\(V = \frac{1}{3} a^2 h\)

যেখানে,

    
• \(V\) = আয়তন (Volume)
    
• \(a\) = ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য (side of the base)
    
• \(h\) = উচ্চতা (height)

ধরি, প্রাথমিক আয়তন \(V_1\), ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য \(a_1\) এবং উচ্চতা \(h_1\)।

তাহলে, \(V_1 = \frac{1}{3} a_1^2 h_1\)

প্রশ্ন অনুযায়ী, উচ্চতা 12% বৃদ্ধি পায় এবং আয়তন 28% বৃদ্ধি পায়।

নতুন উচ্চতা \(h_2 = h_1 + 0.12h_1 = h_1 (1 + 0.12) = 1.12 h_1\)

নতুন আয়তন \(V_2 = V_1 + 0.28V_1 = V_1 (1 + 0.28) = 1.28 V_1\)

ধরি, ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) শতাংশ বৃদ্ধি পায়।

নতুন ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য \(a_2 = a_1 \left(1 + \frac{x}{100}\right)\)

এখন, নতুন আয়তনের সূত্রটি ব্যবহার করে পাই:

\(V_2 = \frac{1}{3} a_2^2 h_2\)

\(1.28 V_1 = \frac{1}{3} \left(a_1 \left(1 + \frac{x}{100}\right)\right)^2 (1.12 h_1)\)

\(1.28 V_1 = \frac{1}{3} a_1^2 \left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 (1.12 h_1)\)

আমরা জানি, \(V_1 = \frac{1}{3} a_1^2 h_1\)। এই মানটি সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(1.28 \left(\frac{1}{3} a_1^2 h_1\right) = \frac{1}{3} a_1^2 \left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 (1.12 h_1)\)

উভয় পক্ষ থেকে \(\frac{1}{3} a_1^2 h_1\) বাদ দিয়ে পাই:

\(1.28 = \left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 (1.12)\)

\(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{1.28}{1.12}\)

ভগ্নাংশটি সরল করে পাই:

\(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{128}{112}\)

উভয়কে 16 দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{8}{7}\)

উভয় পক্ষের বর্গমূল (square root) নিয়ে পাই:

\(1 + \frac{x}{100} = \sqrt{\frac{8}{7}}\)

\(1 + \frac{x}{100} \approx \sqrt{1.142857}\)

\(1 + \frac{x}{100} \approx 1.0690\)

\(\frac{x}{100} \approx 1.0690 - 1\)

\(\frac{x}{100} \approx 0.0690\)

\(x \approx 0.0690 \times 100\)

\(x \approx 6.90\%\)

প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে, 6.90% এর নিকটতম মান হলো 7%।