$If x =\sqrt{5}+\sqrt{6}$, find $x + \frac{1}{x}$

বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে,

\(x = \sqrt{5} + \sqrt{6}\)

আমাদেরকে \(x + \frac{1}{x}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, \(\frac{1}{x}\) এর মান বের করি:

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}}\)

হরকে মূলদ (rationalize the denominator) করার জন্য, হরের অনুবন্ধী (conjugate) রাশি \(\sqrt{6} - \sqrt{5}\) দিয়ে লব ও হরকে গুণ করি। এখানে \(\sqrt{6}\) কে আগে লেখার কারণ হলো \(6 > 5\), তাই বিয়োগফল ধনাত্মক হবে।

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}\)

আমরা জানি, \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)। এই সূত্র ব্যবহার করে,

\(\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1}\)

\(\frac{1}{x} = \sqrt{6} - \sqrt{5}\)

এখন, \(x + \frac{1}{x}\) এর মান নির্ণয় করি:

\(x + \frac{1}{x} = (\sqrt{5} + \sqrt{6}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5})\)

\(x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{5}\)

এখানে \(+\sqrt{5}\) এবং \(-\sqrt{5}\) পরস্পর বাতিল হয়ে যাবে।

\(x + \frac{1}{x} = \sqrt{6} + \sqrt{6}\)

\(x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{6}\)

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো \(2\sqrt{6}\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি \(x = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) আকারে থাকে এবং \(a\) ও \(b\) এর পার্থক্য 1 হয় (অর্থাৎ, \(|a-b| = 1\)), তাহলে \(\frac{1}{x}\) এর মান সহজে নির্ণয় করা যায়:

    
• যদি \(a > b\) এবং \(x = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) হয়, তাহলে \(\frac{1}{x} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\)।
    
• যদি \(b > a\) এবং \(x = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) হয়, তাহলে \(\frac{1}{x} = \sqrt{b} - \sqrt{a}\)।

এই সমস্যায়, \(x = \sqrt{5} + \sqrt{6}\)। এখানে \(a=5\) এবং \(b=6\)। যেহেতু \(b > a\) এবং \(b-a = 6-5=1\), তাই দ্বিতীয় শর্তটি প্রযোজ্য হবে।

সুতরাং, \(\frac{1}{x} = \sqrt{6} - \sqrt{5}\)।

এখন, \(x + \frac{1}{x}\) এর মান বের করি:

\(x + \frac{1}{x} = (\sqrt{5} + \sqrt{6}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5})\)

\(x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{5}\)

\(x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{6}\)