If y is an odd integer and the product of x and y equals 222, what is the value of x?

I. x is a prime number
II. y is a 3 digit number

এখানে আমাদের \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। দেওয়া আছে:

    
• \(y\) একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা (odd integer)।
    
• \(x \times y = 222\)

প্রথমে, 222 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো (prime factors) বের করি:

\(222 = 2 \times 111 = 2 \times 3 \times 37\)

\(x \times y = 222\) এবং \(y\) একটি বিজোড় সংখ্যা হওয়ায়, \(y\) এর উৎপাদকগুলোর মধ্যে 2 থাকতে পারবে না। এর মানে হলো, 222 এর উৎপাদক 2 অবশ্যই \(x\) এর মধ্যে থাকতে হবে।

\(y\) এর সম্ভাব্য বিজোড় মান এবংCorrespondingly \(x\) এর মানগুলো নিম্নরূপ:

    
• যদি \(y = 1\), তাহলে \(x = 222/1 = 222\)
    
• যদি \(y = 3\), তাহলে \(x = 222/3 = 74\)
    
• যদি \(y = 37\), তাহলে \(x = 222/37 = 6\)
    
• যদি \(y = 3 \times 37 = 111\), তাহলে \(x = 222/111 = 2\)

সুতরাং, \((x, y)\) এর সম্ভাব্য জোড়গুলো হলো: \((222, 1), (74, 3), (6, 37), (2, 111)\)।

এখন, প্রতিটি বিবৃতি (statement) পরীক্ষা করা যাক:

বিবৃতি I: \(x\) একটি মৌলিক সংখ্যা (prime number)।

আমাদের সম্ভাব্য \(x\) এর মানগুলো হলো 222, 74, 6, 2।

    
• 222 মৌলিক সংখ্যা নয়।
    
• 74 মৌলিক সংখ্যা নয়।
    
• 6 মৌলিক সংখ্যা নয়।
    
• 2 একটি মৌলিক সংখ্যা।

যদি \(x\) একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে \(x\) এর একমাত্র সম্ভাব্য মান হলো 2। এই ক্ষেত্রে, \(y = 111\)।

সুতরাং, বিবৃতি I একাই \(x\) এর মান নির্ণয় করার জন্য যথেষ্ট।

বিবৃতি II: \(y\) একটি 3-digit সংখ্যা।

আমাদের সম্ভাব্য \(y\) এর মানগুলো হলো 1, 3, 37, 111।

    
• 1 একটি 3-digit সংখ্যা নয়।
    
• 3 একটি 3-digit সংখ্যা নয়।
    
• 37 একটি 3-digit সংখ্যা নয়।
    
• 111 একটি 3-digit সংখ্যা।

যদি \(y\) একটি 3-digit সংখ্যা হয়, তাহলে \(y\) এর একমাত্র সম্ভাব্য মান হলো 111। এই ক্ষেত্রে, \(x = 2\)।

সুতরাং, বিবৃতি II একাই \(x\) এর মান নির্ণয় করার জন্য যথেষ্ট।

যেহেতু প্রতিটি বিবৃতি (Statement I এবং Statement II উভয়ই) একাই \(x\) এর মান নির্ণয় করার জন্য যথেষ্ট, তাই সঠিক বিকল্পটি হলো ঘ।