Impedance in the s-domain for an inductor is-

ইন্ডাকটরের ইম্পিডেন্স (impedance) s-ডোমেইনে (s-domain) নির্ণয় করতে হলে প্রথমে এর টাইম-ডোমেইন (time-domain) সম্পর্কটি জানতে হবে।

একটি ইন্ডাকটরের ক্ষেত্রে, টাইম-ডোমেইনে ভোল্টেজ \(v(t)\) এবং কারেন্ট \(i(t)\) এর সম্পর্ক হলো:

যেখানে, \(L\) হলো ইন্ডাকট্যান্স (inductance)।

এখন, এই সমীকরণটিকে ল্যাপলাস ট্রান্সফর্ম (Laplace transform) প্রয়োগ করে s-ডোমেইনে রূপান্তর করা যায়। ল্যাপলাস ট্রান্সফর্মের মৌলিক বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের (derivative) ল্যাপলাস ট্রান্সফর্ম হলো \(s\) গুণ ফাংশনের ল্যাপলাস ট্রান্সফর্ম (প্রাথমিক শর্ত শূন্য ধরে):

\( \mathcal{L}\left\{\frac{di(t)}{dt}\right\} = sI(s) - i(0^-) \)

ইম্পিডেন্স নির্ণয়ের জন্য, আমরা সাধারণত শূন্য প্রাথমিক শর্ত (zero initial conditions) বিবেচনা করি (অর্থাৎ, \(i(0^-) = 0\))। এই ক্ষেত্রে, \( \mathcal{L}\left\{\frac{di(t)}{dt}\right\} = sI(s) \)।

সুতরাং, s-ডোমেইনে ভোল্টেজ এবং কারেন্টের সম্পর্কটি দাঁড়ায়:

ইম্পিডেন্স \(Z(s)\) কে s-ডোমেইনে ভোল্টেজ এবং কারেন্টের অনুপাত হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

উপরের সমীকরণে \(V(s)\) এর মান বসিয়ে পাই:

অতএব, একটি ইন্ডাকটরের ইম্পিডেন্স s-ডোমেইনে হলো \(sL\)। এখানে \(s\) হলো ল্যাপলাস অপারেটর বা কমপ্লেক্স ফ্রিকোয়েন্সি (complex frequency) যা \(s = \sigma + j\omega\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

    
• অপশন 1: L – এটি ইন্ডাকটরের ইন্ডাকট্যান্সের মান, ইম্পিডেন্স নয়।
    
• অপশন 2 ও 4: \( \frac{1}{sL} \) – এটি ইন্ডাকটরের অ্যাডমিট্যান্স (admittance), যা ইম্পিডেন্সের বিপরীত।
    
• অপশন 3: \(sL\) – এটি ইন্ডাকটরের সঠিক ইম্পিডেন্স।