In a city 90% of the population own a car , 15% own a motorcycle, and everybody owns one or the other or both. What is the percentage of motorcycle owners who own cars?

বিস্তারিত সমাধান:

ধরা যাক, শহরের মোট জনসংখ্যা হলো \(100\%\)।

প্রশ্নানুযায়ী:

    
• গাড়ির মালিকের সংখ্যা, P(Car) = \(90\%\)
    
• মোটরসাইকেলের মালিকের সংখ্যা, P(Motorcycle) = \(15\%\)
    
• সবাই গাড়ি অথবা মোটরসাইকেল অথবা উভয়ই মালিক। অর্থাৎ, অন্তত একটি যানের মালিকের সংখ্যা, P(Car \(\cup\) Motorcycle) = \(100\%\)।

আমরা জানি, সেটের অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতি (Principle of Inclusion-Exclusion) অনুযায়ী:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

এখানে, A = Car (গাড়ি) এবং B = Motorcycle (মোটরসাইকেল)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\(P(\text{Car} \cup \text{Motorcycle}) = P(\text{Car}) + P(\text{Motorcycle}) - P(\text{Car} \cap \text{Motorcycle})\)

প্রদত্ত মানগুলি বসিয়ে পাই:

\(100\% = 90\% + 15\% - P(\text{Car} \cap \text{Motorcycle})\)

\(100\% = 105\% - P(\text{Car} \cap \text{Motorcycle})\)

উভয় যানের মালিকের সংখ্যা, P(Car \(\cap\) Motorcycle) = \(105\% - 100\%\)

\(P(\text{Car} \cap \text{Motorcycle}) = 5\%\)

অর্থাৎ, শহরের মোট জনসংখ্যার \(5\%\) মানুষ গাড়ি এবং মোটরসাইকেল উভয়ই মালিক।

এখন প্রশ্ন হলো, "মোটরসাইকেল মালিকদের মধ্যে কত শতাংশের গাড়ি আছে?"। এর অর্থ হলো, শুধুমাত্র মোটরসাইকেল মালিকদের সাপেক্ষে যারা উভয় যানের মালিক, তাদের শতাংশ নির্ণয় করা।

এটি নির্ণয় করার জন্য, উভয় যানের মালিকের সংখ্যাকে মোটরসাইকেলের মোট মালিকের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে \(100\%\) দিয়ে গুণ করতে হবে:

প্রয়োজনীয় শতাংশ = \(\frac{\text{উভয় যানের মালিকের সংখ্যা}}{\text{মোটরসাইকেলের মোট মালিকের সংখ্যা}} \times 100\%\)

প্রয়োজনীয় শতাংশ = \(\frac{P(\text{Car} \cap \text{Motorcycle})}{P(\text{Motorcycle})} \times 100\%\)

প্রয়োজনীয় শতাংশ = \(\frac{5\%}{15\%} \times 100\%\)

প্রয়োজনীয় শতাংশ = \(\frac{5}{15} \times 100\%\)

প্রয়োজনীয় শতাংশ = \(\frac{1}{3} \times 100\%\)

প্রয়োজনীয় শতাংশ = \(33\frac{1}{3}\%\)

সুতরাং, মোটরসাইকেল মালিকদের মধ্যে \(33\frac{1}{3}\%\) এর গাড়ি আছে।