In a geometric progression with positive terms, the sum of the second and third terms is 6, and the sum of the fourth and fifth terms is 54. What is the common ratio?

একটি গুণোত্তর প্রগমন (Geometric Progression - GP)-এর সমস্যা সমাধানে, আমরা প্রগমনের পদগুলোর সাধারণ সূত্র ব্যবহার করব।

ধরি, গুণোত্তর প্রগমনের প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অনুপাত (common ratio) \(r\)।

গুণোত্তর প্রগমনের \(n\) তম পদ হলো \(a_n = ar^{n-1}\)।

প্রশ্ন অনুযায়ী:

দ্বিতীয় পদ (\(a_2\)) এবং তৃতীয় পদ (\(a_3\)) এর যোগফল হলো 6।

\(a_2 = ar\)

\(a_3 = ar^2\)

অতএব, \(ar + ar^2 = 6\)

\(ar(1 + r) = 6\) ---(1)

চতুর্থ পদ (\(a_4\)) এবং পঞ্চম পদ (\(a_5\)) এর যোগফল হলো 54।

\(a_4 = ar^3\)

\(a_5 = ar^4\)

অতএব, \(ar^3 + ar^4 = 54\)

\(ar^3(1 + r) = 54\) ---(2)

এখন, সমীকরণ (2) কে সমীকরণ (1) দ্বারা ভাগ করি:

\(\frac{ar^3(1 + r)}{ar(1 + r)} = \frac{54}{6}\)

উভয় পক্ষ থেকে \(a(1 + r)\) বাদ দিলে পাই:

\(r^2 = 9\)

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে, প্রগমনটির পদগুলো ধনাত্মক (positive terms), তাই সাধারণ অনুপাত \(r\) অবশ্যই ধনাত্মক হবে।

\(r = \sqrt{9}\)

\(r = 3\)

সুতরাং, সাধারণ অনুপাত হলো 3।

গুণোত্তর প্রগমনের ক্ষেত্রে, যদি দুটি ভিন্ন সেটের পদের যোগফল দেওয়া থাকে এবং সেই সেটগুলোর পদগুলোর সূচক (index) এর পার্থক্য একই হয়, তবে তাদের যোগফলের অনুপাত সাধারণ অনুপাতের নির্দিষ্ট ঘাতের সমান হয়।

এখানে, (দ্বিতীয় পদ + তৃতীয় পদ) এবং (চতুর্থ পদ + পঞ্চম পদ) এর যোগফল দেওয়া আছে।

\(a_2 + a_3 = ar + ar^2 = ar(1+r)\)

\(a_4 + a_5 = ar^3 + ar^4 = ar^3(1+r)\)

লক্ষ্য করুন, \(a_4 + a_5 = r^2 (ar + ar^2) = r^2 (a_2 + a_3)\)

তাহলে, \(\frac{a_4 + a_5}{a_2 + a_3} = r^2\)

\(\frac{54}{6} = r^2\)

\(9 = r^2\)

\(r = 3\) (যেহেতু পদগুলো ধনাত্মক, \(r\) ধনাত্মক হবে)