K এর কোন মানের জন্য 5x+4y-1=0 এবং 2x+Ky-7=0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?

সরলরেখার সমীকরণ (Equation of Straight Line)

স্থানাংক জ্যামিতিতে কোনো সরলরেখার অবস্থানকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করার জন্য যে সমীকরণ ব্যবহৃত হয় তাকে সরলরেখার সমীকরণ বলা হয়।

সরলরেখার সাধারণ রূপ

$ax+by+c=0$

এখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b একসাথে শূন্য হবে না।

ঢাল-ছেদ রূপ (Slope-Intercept Form)

যদি কোনো সরলরেখার ঢাল m এবং y-অক্ষকে c বিন্দুতে ছেদ করে, তবে রেখার সমীকরণ হবে:

$y=mx+c$

এখানে,

• m = রেখার ঢাল
• c = y-অক্ষে ছেদক

উদাহরণ

যদি রেখার ঢাল 2 এবং y-অক্ষে ছেদক 3 হয়, তবে সমীকরণ:

$y=2x+3$

এক বিন্দু ও ঢাল দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি কোনো রেখা

$(x_1,y_1)$

বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং রেখার ঢাল m হয়, তবে সমীকরণ:

$y-y_1=m(x-x_1)$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং ঢাল 4 হয়, তবে

$y-3=4(x-2)$

দুই বিন্দু দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি একটি রেখা

$(x_1,y_1)$

এবং

$(x_2,y_2)$

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (1, 2) এবং (3, 6) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তবে

$\frac{y-2}{6-2}=\frac{x-1}{3-1}$

অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা

x-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে y এর মান ধ্রুবক হবে।

$y=k$

y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে x এর মান ধ্রুবক হবে।

$x=k$

ছেদক রূপ (Intercept Form)

যদি কোনো রেখা x-অক্ষকে a এককে এবং y-অক্ষকে b এককে ছেদ করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

লম্ব রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়।

$m_1{m}_2=-1$

সমান্তরাল রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢাল সমান হলে রেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হয়।

$m_1=m_2$

বিশেষ তথ্য

• ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা ঊর্ধ্বমুখী হয়
• ঢাল ঋণাত্মক হলে রেখা নিম্নমুখী হয়
• ঢাল শূন্য হলে রেখা অনুভূমিক হয়
• ঢাল অসংজ্ঞায়িত হলে রেখা উল্লম্ব হয়

মনে রাখার উপায়

সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সূত্র হলো:

$y-y_1=m(x-x_1)$

এটিকে Point-Slope Form বলা হয়।