L দৈর্ঘ্যের একটি সাধারণ বীমের উপর প্রতি মিটারে W কেজি লোড সমভাবে বিস্তৃত থাকলে সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট হবে-

একটি সাধারণ বীম (Simply Supported Beam) হলো এমন একটি বীম যার দুই প্রান্তকে সাপোর্ট দ্বারা সমর্থন করা হয় এবং এর এক প্রান্ত ঘোরার অনুমতি দেয় (pinned support) এবং অন্য প্রান্ত অনুভূমিকভাবে নড়াচড়া করতে পারে (roller support)। যখন একটি বীমের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য বরাবর লোড সমানভাবে ছড়িয়ে থাকে, তখন তাকে সমভাবে বিস্তৃত লোড (Uniformly Distributed Load - UDL) বলে।

প্রশ্নে \(L\) দৈর্ঘ্যের একটি সাধারণ বীমের উপর প্রতি মিটারে \(W\) কেজি লোড সমভাবে বিস্তৃত থাকার কথা বলা হয়েছে। এই ধরনের লোডিং অবস্থার জন্য সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট (Maximum Bending Moment) বীমের ঠিক মাঝখানে (mid-span) ঘটে।

এর মান নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা যেতে পারে:

১. মোট লোড (Total Load):

বীমের উপর মোট লোড = প্রতি মিটার লোড \(\times\) বীমের দৈর্ঘ্য = \(W \times L = WL\)

২. সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া (Support Reactions):

সাধারণ বীমের ক্ষেত্রে, লোড সুষমভাবে বিস্তৃত থাকলে, দুটি সাপোর্টের প্রতিক্রিয়া সমান হয়।

প্রতিটি সাপোর্টের প্রতিক্রিয়া (\(R_A = R_B\)) = \(\frac{\text{মোট লোড}}{2} = \frac{WL}{2}\)

৩. বেন্ডিং মোমেন্টের সূত্র (Bending Moment Formula):

বীমের যেকোনো সেকশন \(x\) দূরত্বে বেন্ডিং মোমেন্ট \(M_x\) হবে:

\[M_x = R_A \cdot x - (W \cdot x) \cdot \frac{x}{2}\]

\[M_x = \frac{WL}{2} \cdot x - \frac{Wx^2}{2}\]

৪. সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্টের অবস্থান (Location of Maximum Bending Moment):

সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্টের জন্য, মোমেন্টের সমীকরণকে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে শূন্যের সমান ধরা হয় (\(\frac{dM_x}{dx} = 0\)):

\[\frac{dM_x}{dx} = \frac{WL}{2} - Wx = 0\]

\[Wx = \frac{WL}{2}\]

\[x = \frac{L}{2}\]

অর্থাৎ, সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট বীমের মাঝখানে (\(x = \frac{L}{2}\) দূরত্বে) ঘটে।

৫. সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্টের মান (Value of Maximum Bending Moment):

\(x = \frac{L}{2}\) মানটি বেন্ডিং মোমেন্টের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[M_{max} = \frac{WL}{2} \cdot \left(\frac{L}{2}\right) - \frac{W}{2} \left(\frac{L}{2}\right)^2\]

\[M_{max} = \frac{WL^2}{4} - \frac{WL^2}{8}\]

\[M_{max} = \frac{2WL^2 - WL^2}{8}\]

\[M_{max} = \frac{WL^2}{8}\]

সুতরাং, \(L\) দৈর্ঘ্যের একটি সাধারণ বীমের উপর প্রতি মিটারে \(W\) কেজি লোড সমভাবে বিস্তৃত থাকলে সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট হবে \(\frac{WL^2}{8}\)।