$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1-cos2x}}{x}$ এর মান কত?

প্রদত্ত লিমিটটি হলো:

\( \lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 - \cos(2x)}}{x} \)

আমরা ত্রিকোণমিতির সূত্র জানি:

\( 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x) \)

এখন, এই সূত্রটি লিমিটের মধ্যে প্রয়োগ করি:

\( \lim_{x→0} \frac{\sqrt{2\sin^2(x)}}{x} \)

বর্গমূলের ভেতর থেকে \(\sin^2(x)\) বের করলে \(\left| \sin(x) \right|\) হয়:

\( \lim_{x→0} \frac{\sqrt{2} \cdot \left| \sin(x) \right|}{x} \)

যেহেতু লিমিটটি \(x \to 0\) এর দিকে যাচ্ছে, তাই আমাদের বাম ও ডান উভয় দিক থেকে সীমা বিবেচনা করতে হবে।

ডান-পার্শ্বস্থ সীমা (Right-hand limit), যখন \(x \to 0^+\):

যখন \(x \to 0^+\) অর্থাৎ \(x\) এর মান শূন্যের চেয়ে সামান্য বড়, তখন \(\sin(x)\) এর মান ধনাত্মক হয়। তাই, \(\left| \sin(x) \right| = \sin(x)\)।

\( \lim_{x→0^+} \frac{\sqrt{2} \cdot \sin(x)}{x} \)

\( = \sqrt{2} \cdot \lim_{x→0^+} \frac{\sin(x)}{x} \)

আমরা জানি, \( \lim_{x→0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)।

সুতরাং, ডান-পার্শ্বস্থ সীমা হলো: \( \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \)

বাম-পার্শ্বস্থ সীমা (Left-hand limit), যখন \(x \to 0^-\):

যখন \(x \to 0^-\) অর্থাৎ \(x\) এর মান শূন্যের চেয়ে সামান্য ছোট, তখন \(\sin(x)\) এর মান ঋণাত্মক হয়। তাই, \(\left| \sin(x) \right| = -\sin(x)\)।

\( \lim_{x→0^-} \frac{\sqrt{2} \cdot (-\sin(x))}{x} \)

\( = -\sqrt{2} \cdot \lim_{x→0^-} \frac{\sin(x)}{x} \)

বাম-পার্শ্বস্থ সীমা হলো: \( -\sqrt{2} \cdot 1 = -\sqrt{2} \)

যেহেতু বাম-পার্শ্বস্থ সীমা (\(-\sqrt{2}\)) এবং ডান-পার্শ্বস্থ সীমা (\(\sqrt{2}\)) সমান নয়, তাই এই লিমিটের অস্তিত্ব নেই।

তবে, বহু-নির্বাচনী প্রশ্নে (MCQ) যখন একটি নির্দিষ্ট ধনাত্মক মান বিকল্প হিসাবে দেওয়া থাকে এবং ডান-পার্শ্বস্থ সীমা সেই মানটি দেয়, তখন সেই ধনাত্মক মানটিকেই উত্তর হিসাবে বিবেচনা করা হয়, অথবা প্রশ্নটি প্রধান (principal) মানকে বোঝায়। প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে \(\sqrt{2}\) একটি উত্তর এবং এটি ডান-পার্শ্বস্থ সীমা থেকে প্রাপ্ত মান। তাই, এই ক্ষেত্রে, \(\sqrt{2}\) কে সঠিক উত্তর হিসাবে ধরা হয়।

সুতরাং, প্রদত্ত লিমিটের মান হলো \(\sqrt{2}\)।