OABC ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল-

বিস্তারিত সমাধান:

প্রশ্নানুযায়ী, O হল মূলবিন্দু (0, 0, 0) এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 1, 2)।

ছবিতে প্রদর্শিত OABC ক্ষেত্রটিকে OA এবং OC ভেক্টর দ্বারা গঠিত একটি সামান্তরিক (parallelogram) হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যেখানে B হলো সামান্তরিকের O বিন্দুর বিপরীত শীর্ষবিন্দু। এই ক্ষেত্রে, সামান্তরিকের ধর্ম অনুযায়ী, \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}\)।

চিত্রের জ্যামিতিক বিন্যাস এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 1, 2) থেকে আমরা A এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক অনুমান করতে পারি:

    
• O বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0, 0, 0)
    
• A বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (1, 1, 0) (B বিন্দুর XY-সমতলে অভিক্ষেপ, যা \(\vec{OB}\) এর XY উপাংশ নির্দেশ করে)
    
• C বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0, 0, 2) (B বিন্দুর Z-অক্ষের উপাংশ)

এই অনুমানটি সামান্তরিকের নিয়ম \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}\) মেনে চলে, কারণ \((1, 1, 0) + (0, 0, 2) = (1, 1, 2)\)।

এখন, আমরা \(\vec{OA}\) এবং \(\vec{OC}\) ভেক্টর দুটি নির্ণয় করব:

\(\vec{OA} = (1-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k} = (1, 1, 0)\)

\(\vec{OC} = (0-0)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k} = (0, 0, 2)\)

দুটি ভেক্টর \(\vec{u}\) এবং \(\vec{v}\) দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো তাদের ক্রস গুণফলের মানের সমান, অর্থাৎ \(|\vec{u} \times \vec{v}|\)।

এখানে, \(\vec{OA}\) এবং \(\vec{OC}\) ভেক্টরের ক্রস গুণফল নির্ণয় করি:

\(\vec{OA} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}\)

\( = \hat{i}(1 \times 2 - 0 \times 0) - \hat{j}(1 \times 2 - 0 \times 0) + \hat{k}(1 \times 0 - 1 \times 0) \)

\( = \hat{i}(2 - 0) - \hat{j}(2 - 0) + \hat{k}(0 - 0) \)

\( = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k} \)

OABC সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো এই ক্রস গুণফল ভেক্টরের মান:

ক্ষেত্রফল \( = |\vec{OA} \times \vec{OC}| = |2\hat{i} - 2\hat{j}| \)

\( = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (0)^2} \)

\( = \sqrt{4 + 4 + 0} \)

\( = \sqrt{8} \)

\( = \sqrt{4 \times 2} \)

\( = 2\sqrt{2} \)

সুতরাং, OABC ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো \(2\sqrt{2}\) বর্গ একক।