$p-\frac{1}{p}=3$ হলে $p^3-\frac{1}{p^3}$ এর মান কত? 

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত রাশি:

\(p - \frac{1}{p} = 3\)

আমাদেরকে \(p^3 - \frac{1}{p^3}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, ঘন এর একটি সূত্র হলো:

\(a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)\)

এখানে \(a = p\) এবং \(b = \frac{1}{p}\) ধরে আমরা লিখতে পারি:

\(p^3 - \frac{1}{p^3} = (p - \frac{1}{p})^3 + 3 \cdot p \cdot \frac{1}{p} (p - \frac{1}{p})\)

\(p^3 - \frac{1}{p^3} = (p - \frac{1}{p})^3 + 3 \cdot 1 \cdot (p - \frac{1}{p})\)

\(p^3 - \frac{1}{p^3} = (p - \frac{1}{p})^3 + 3 (p - \frac{1}{p})\)

এখন, প্রদত্ত মান \(p - \frac{1}{p} = 3\) বসিয়ে পাই:

\(p^3 - \frac{1}{p^3} = (3)^3 + 3(3)\)

\(p^3 - \frac{1}{p^3} = 27 + 9\)

\(p^3 - \frac{1}{p^3} = 36\)

সুতরাং, \(p^3 - \frac{1}{p^3}\) এর মান 36।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি \(x - \frac{1}{x} = k\) হয়, তাহলে \(x^3 - \frac{1}{x^3} = k^3 + 3k\)।

এই সমস্যাটিতে \(k = 3\)।

অতএব, \(p^3 - \frac{1}{p^3} = (3)^3 + 3(3)\)

\(= 27 + 9\)

\(= 36\)