$\overrightarrow{\nabla }.\overrightarrow{v}=0$ হলে-

i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল
ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল হয়
iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না।
নিচের কোনটি সঠিক?

একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{v}\) এর ডাইভারজেন্স (Divergence) হলো \(\vec{\nabla} \cdot \vec{v}\)। এর ভৌত তাৎপর্য হলো, এটি কোনো বিন্দুতে প্রতি একক আয়তনে নির্গত নিট ফ্লাক্সের পরিমাণ নির্দেশ করে। যখন \(\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0\) হয়, তখন এর অর্থ হলো:

    
•         

  i. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল (Solenoidal): একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল বলা হয় যদি তার ডাইভারজেন্স শূন্য হয়। অর্থাৎ, \(\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0\)। এটি নির্দেশ করে যে, ভেক্টর ক্ষেত্রটির কোনো উৎসমূল (source) বা সিঙ্ক (sink) নেই।

      
    
•         

  ii. প্রবাহী অপ্রসারণশীল (Incompressible) হয়: ফ্লুইড ডাইনামিক্সে, যদি একটি তরল বা গ্যাসের বেগ ক্ষেত্র \(\vec{v}\) হয়, তাহলে \(\vec{\nabla} \cdot \vec{v}\) ঐ ফ্লুইডের আয়তনের পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে। যদি \(\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0\) হয়, এর অর্থ হলো প্রবাহীটি অপ্রসারণশীল (incompressible), অর্থাৎ এর ঘনত্ব ধ্রুব থাকে এবং এর কোনো আয়তন প্রসারণ বা সংকোচন হয় না।

      
    
•         

  iii. কোনো পদার্থের আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পরিবর্তন হয় না: ডাইভারজেন্স উপপাদ্য (Divergence Theorem) অনুযায়ী, কোনো বদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের মোট ফ্লাক্স (আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের পার্থক্য) ঐ তলের দ্বারা আবদ্ধ আয়তনের মধ্যে ভেক্টর ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্সের আয়তন সমাকলের (volume integral) সমান। যদি \(\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0\) হয়, তাহলে বদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে নিট ফ্লাক্স শূন্য হবে। এর মানে হলো, ঐ আয়তনে যতটুকু ফ্লাক্স প্রবেশ করে, ঠিক ততটুকুই বের হয়ে যায়, অর্থাৎ আগত ও নির্গত ফ্লাক্সের কোনো নিট পরিবর্তন হয় না।

      

সুতরাং, উপরের তিনটি বিবৃতিই সঠিক।