What is the 20^th term of the sequence 2, 3, 5, 9, 17, _______ ?

প্রদত্ত ধারাটি হলো: 2, 3, 5, 9, 17, _______

প্রথমে আমরা ধারাটির পদগুলোর মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করব। প্রতিটি পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য নির্ণয় করি:

    
• দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = \(3 - 2 = 1\)
    
• তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = \(5 - 3 = 2\)
    
• চতুর্থ পদ - তৃতীয় পদ = \(9 - 5 = 4\)
    
• পঞ্চম পদ - চতুর্থ পদ = \(17 - 9 = 8\)

পার্থক্যগুলো হলো: 1, 2, 4, 8, ...

এই পার্থক্যগুলো একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression) গঠন করে, যেখানে প্রথম পদ \(a = 1\) এবং সাধারণ অনুপাত (common ratio) \(r = 2\)।

অতএব, \(n\) তম পদ এবং \((n-1)\) তম পদের পার্থক্য (যখন \(n \ge 2\)) হবে \(2^{n-2}\)।

যদি আমরা \(d_n\) কে \((n+1)\) তম পদ এবং \(n\) তম পদের পার্থক্য ধরি, অর্থাৎ \(d_n = a_{n+1} - a_n\), তাহলে:

    
• \(d_1 = a_2 - a_1 = 1 = 2^{1-1} = 2^0\)
    
• \(d_2 = a_3 - a_2 = 2 = 2^{2-1} = 2^1\)
    
• \(d_3 = a_4 - a_3 = 4 = 2^{3-1} = 2^2\)
    
• \(d_4 = a_5 - a_4 = 8 = 2^{4-1} = 2^3\)

সুতরাং, সাধারণ সূত্র অনুযায়ী, \(n\) তম পদের জন্য \((a_{n+1} - a_n) = 2^{n-1}\) হবে।

এখন আমরা \(n\) তম পদের সাধারণ সূত্র (General Term) নির্ণয় করব।

\(a_n = a_1 + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \dots + (a_n - a_{n-1})\)

\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)\)

\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}\)

এখানে প্রথম পদ \(a_1 = 2\)।

যোগফল \(\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}\) হলো একটি গুণোত্তর ধারা: \(2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-2}\)।

এই ধারার প্রথম পদ \(A=2^0=1\), সাধারণ অনুপাত \(R=2\) এবং পদসংখ্যা \((n-1)\) টি।

গুণোত্তর ধারার যোগফলের সূত্র \(S_m = A \frac{R^m - 1}{R - 1}\) ব্যবহার করে, এখানে \(m = n-1\):

\(\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 \cdot \frac{2^{n-1} - 1}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1\)

সুতরাং, \(n\) তম পদের সূত্রটি দাঁড়ায়:

\(a_n = a_1 + (2^{n-1} - 1)\)

\(a_n = 2 + (2^{n-1} - 1)\)

\(a_n = 2^{n-1} + 1\)

এই সূত্রটি সঠিক কিনা তা যাচাই করি:

    
• \(a_1 = 2^{1-1} + 1 = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2\) (সঠিক)
    
• \(a_2 = 2^{2-1} + 1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3\) (সঠিক)
    
• \(a_3 = 2^{3-1} + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5\) (সঠিক)
    
• \(a_4 = 2^{4-1} + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9\) (সঠিক)
    
• \(a_5 = 2^{5-1} + 1 = 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17\) (সঠিক)

এখন, ধারার 20তম পদ (\(a_{20}\)) নির্ণয় করতে, আমরা \(n=20\) বসাবো:

\(a_{20} = 2^{20-1} + 1\)

\(a_{20} = 2^{19} + 1\)

প্রদত্ত বিকল্পগুলো হলো:

    
1. \(20^{19} + 1\)
    
2. \(20^{20} + 1\)
    
3. \(2^{20}\)
    
4. \(2^{19}\)

আমাদের নির্ণীত 20তম পদ \(2^{19} + 1\) কোনো বিকল্পের সাথে হুবহু মিলে না। সবচেয়ে কাছাকাছি বিকল্পটি হলো \(2^{19}\) বা \(2^{20}\) কিন্তু সেগুলোর সাথে \(+1\) অথবা \(+0\) এর পার্থক্য বিদ্যমান।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়। সম্ভবত প্রশ্নে বা অপশনে মুদ্রণজনিত ত্রুটি রয়েছে। সঠিক উত্তর হওয়া উচিত ছিল \(2^{19} + 1\)।