What is the area under the curve y = x ^ 2 from x = 0 to x =1?

Created: 2 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

1/2
খ

1/3
গ

1/4
ঘ

2/3

319

ব্যাখ্যাঃ

কোনো বক্ররেখা (curve) এবং x-অক্ষের মধ্যে নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে ক্ষেত্রফল (area) নির্ণয় করতে ডেফিনিট ইন্টিগ্রেশন (definite integration) ব্যবহার করা হয়। এক্ষেত্রে, $y = f(x)$ বক্ররেখা এবং $x = a$ থেকে $x = b$ সীমার মধ্যে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\[ \text{Area} = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \]

বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ $y = x^2$।

এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সীমা $x = 0$ থেকে $x = 1$ পর্যন্ত।

অতএব, ক্ষেত্রফল হবে:

\[ \text{Area} = \int_{0}^{1} x^2 \,dx \]

ইন্টিগ্রেশনের মৌলিক সূত্র $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ব্যবহার করে:

\[ \int x^2 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \]

এখন, নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে ইন্টিগ্রেশন সম্পন্ন করলে:

\[ \text{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \]

ঊর্ধ্বসীমা (upper limit) $x = 1$ এবং নিম্নসীমা (lower limit) $x = 0$ প্রয়োগ করে:

\[ \text{Area} = \left( \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( \frac{(0)^3}{3} \right) \] \[ \text{Area} = \frac{1}{3} - 0 \] \[ \text{Area} = \frac{1}{3} \]

সুতরাং, বক্ররেখা $y = x^2$ এর অধীনে $x = 0$ থেকে $x = 1$ পর্যন্ত ক্ষেত্রফল হলো $1/3$।

Najjar Hossain Raju

1 month ago

MCQ: 109 CQ: 37

Practice

বিবিধ (Miscellaneous)

গণিতের শর্টকাট ও ট্রিকস, তথ্য বিশ্লেষণের মৌলিক ধারণা, গাণিতিক পরিভাষা ও মনে রাখার কৌশল

গণিতকে সহজ ও দ্রুত সমাধান করার জন্য বিভিন্ন শর্টকাট, তথ্য বিশ্লেষণ পদ্ধতি এবং গাণিতিক পরিভাষা জানা গুরুত্বপূর্ণ। এগুলো শিক্ষার্থীদের দ্রুত গণনা, সমস্যা বিশ্লেষণ এবং পরীক্ষায় কম সময়ে সঠিক উত্তর করতে সাহায্য করে।

১. গণিতের শর্টকাট ও ট্রিকস (Math Shortcuts & Tricks)

গণনার সময় দ্রুত উত্তর বের করার সহজ কৌশলকে গণিতের শর্টকাট বা ট্রিকস বলা হয়।

কিছু গুরুত্বপূর্ণ ট্রিকস

• ৫ দিয়ে শেষ হওয়া সংখ্যার বর্গ:

যেমন: 25²
= 2 × (2+1) | 25
= 6 | 25
= 625

• ৯ দিয়ে গুণের দ্রুত কৌশল:

9 × 7 = 63
(10 × 7) − 7 = 63

• শতকরা দ্রুত নির্ণয়:

10% বের করতে → সংখ্যাটিকে 10 দিয়ে ভাগ
5% বের করতে → 10% এর অর্ধেক

• গুণের শর্টকাট:

11 × 32 = 352
(3+2 = 5 মাঝখানে বসবে)

২. তথ্য বিশ্লেষণের মৌলিক ধারণা (Basic Concept of Data Analysis)

সংগৃহীত তথ্যকে সাজানো, তুলনা করা এবং বিশ্লেষণ করে সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর প্রক্রিয়াকে তথ্য বিশ্লেষণ বলা হয়।

তথ্য বিশ্লেষণের ধাপ

• তথ্য সংগ্রহ
• তথ্য সাজানো
• সারণি বা চার্ট তৈরি
• গড়, শতকরা বা অনুপাত নির্ণয়
• ফলাফল বিশ্লেষণ

উদাহরণ

৫ জন শিক্ষার্থীর নম্বর:
40, 50, 60, 70, 80

মোট = 300
গড় =

$\frac{300}{5} = 60$

অতএব, গড় নম্বর = 60

৩. গাণিতিক পরিভাষা (Mathematical Terms)

গণিতে ব্যবহৃত বিশেষ শব্দ বা টার্মকে গাণিতিক পরিভাষা বলা হয়।

কিছু গুরুত্বপূর্ণ পরিভাষা

• যোগফল (Sum) → যোগের ফল
• বিয়োগফল (Difference) → বিয়োগের ফল
• গুণফল (Product) → গুণের ফল
• ভাগফল (Quotient) → ভাগের ফল
• লব (Numerator) → ভগ্নাংশের উপরের সংখ্যা
• হর (Denominator) → ভগ্নাংশের নিচের সংখ্যা
• গুণনীয়ক (Factor) → নিঃশেষে ভাগ করতে পারে
• গুণিতক (Multiple) → গুণ করে পাওয়া সংখ্যা
• শতকরা (Percentage) → প্রতি 100 এ হিসাব

৪. মনে রাখার কৌশল (Memory Techniques)

• BODMAS নিয়ম:

Bracket → Order → Division → Multiplication → Addition → Subtraction

• Even Number → শেষ অঙ্ক 0,2,4,6,8
• Odd Number → শেষ অঙ্ক 1,3,5,7,9
• Prime Number → 1 ও নিজে ছাড়া অন্য গুণনীয়ক নেই

• Percentage মনে রাখার কৌশল:

“Percent” অর্থ প্রতি 100

• গড় নির্ণয়:

গড় = মোট যোগফল ÷ মোট সংখ্যা

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• শর্টকাট সময় বাঁচায়
• তথ্য বিশ্লেষণ সিদ্ধান্ত নিতে সাহায্য করে
• গাণিতিক পরিভাষা বুঝলে অঙ্ক সহজ হয়
• নিয়মিত অনুশীলন করলে দ্রুত গণনা করা যায়

Notification

What is the area under the curve y = x ^ 2 from x = 0 to x =1?

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion