What is the value of Y?

$I. x^2-y^2=5$

II. x and y are each positive integer

এই ধরনের সমস্যাগুলিকে উপাত্ত পর্যাপ্ততা (Data Sufficiency) সমস্যা বলা হয়। এখানে একটি প্রশ্ন এবং দুটি বিবৃতি (Statement) দেওয়া থাকে। প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য কোন বিবৃতি বা বিবৃতিগুলো পর্যাপ্ত, তা নির্ণয় করতে হয়।

প্রশ্ন: Y এর মান কত?

বিবৃতি I: \(x^2 - y^2 = 5\)

বিবৃতি II: x এবং y উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (positive integer)।

বিস্তারিত সমাধান:

শুধুমাত্র বিবৃতি I বিশ্লেষণ:

বিবৃতি I থেকে আমরা পাই,

\[x^2 - y^2 = 5\]

আমরা জানি, \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)। তাই,

\[(x - y)(x + y) = 5\]

এখানে x এবং y এর অনেক সম্ভাব্য মান থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 3 এবং y = 2 হয়, তাহলে \(3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\)। যদি x = 6 এবং y = \(\sqrt{31}\) হয়, তাহলেও \(6^2 - (\sqrt{31})^2 = 36 - 31 = 5\)। যেহেতু y এর একটি নির্দিষ্ট বা অনন্য মান পাওয়া যাচ্ছে না, তাই শুধুমাত্র বিবৃতি I পর্যাপ্ত নয়।

শুধুমাত্র বিবৃতি II বিশ্লেষণ:

বিবৃতি II থেকে আমরা পাই, x এবং y উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

এই বিবৃতিটি শুধুমাত্র x এবং y এর ধরন সম্পর্কে তথ্য দেয়, কোনো গাণিতিক সম্পর্ক দেয় না যার মাধ্যমে Y এর মান নির্ণয় করা যায়। তাই শুধুমাত্র বিবৃতি II পর্যাপ্ত নয়।

বিবৃতি I এবং II একত্রে বিশ্লেষণ:

যখন আমরা উভয় বিবৃতি একত্রিত করি, তখন আমরা পাই:

১. \((x - y)(x + y) = 5\)

২. x এবং y উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

যেহেতু x এবং y ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই \((x - y)\) এবং \((x + y)\) উভয়ই পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।

যেহেতু x এবং y ধনাত্মক, \(x + y\) অবশ্যই একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হবে।

যেহেতু \((x - y)(x + y) = 5\) (একটি ধনাত্মক সংখ্যা) এবং \(x + y\) ধনাত্মক, তাই \((x - y)\) ও ধনাত্মক হতে হবে।

সংখ্যা 5 এর পূর্ণসাংখ্যিক গুণনীয়ক জোড়া (factor pairs) হলো (1, 5) এবং (5, 1)।

আমরা দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্র বিবেচনা করতে পারি:

ক্ষেত্র ১:

\[x - y = 1 \quad \text{(সমীকরণ ১)}\]

\[x + y = 5 \quad \text{(সমীকরণ ২)}\]

সমীকরণ ১ এবং ২ যোগ করে পাই:

\[(x - y) + (x + y) = 1 + 5\]

\[2x = 6\]

\[x = 3\]

x এর মান সমীকরণ ২ এ বসিয়ে পাই:

\[3 + y = 5\]

\[y = 5 - 3\]

\[y = 2\]

এখানে x=3 এবং y=2 উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, যা বিবৃতি II এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

ক্ষেত্র ২:

\[x - y = 5 \quad \text{(সমীকরণ ৩)}\]

\[x + y = 1 \quad \text{(সমীকরণ ৪)}\]

সমীকরণ ৩ এবং ৪ যোগ করে পাই:

\[(x - y) + (x + y) = 5 + 1\]

\[2x = 6\]

\[x = 3\]

x এর মান সমীকরণ ৪ এ বসিয়ে পাই:

\[3 + y = 1\]

\[y = 1 - 3\]

\[y = -2\]

এই ক্ষেত্রে y = -2 পাওয়া যায়, যা বিবৃতি II অনুযায়ী ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়। তাই এই ক্ষেত্রটি বাতিল।

সুতরাং, উভয় বিবৃতি একত্রিত করলে আমরা Y এর একটি অনন্য মান (Y = 2) পাই। তাই উভয় বিবৃতি একত্রিতভাবে প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত।

এটি বিকল্প গ এর সাথে মিলে যায়, যেখানে বলা হয়েছে "both statements I and II together are sufficient to answer the question, but neither statement alone is sufficient."