A debate team must consist of four debaters selected from seven candidates: A, B, C, D, X, Y, and Z. The following conditions apply:

• If Y is selected, B must also be selected.
• If Z is selected, D must also be selected.
• If B is selected, C cannot be selected.
• A and C cannot both be selected.
• If D is selected, A cannot be selected.

Which of the following statements must be false?

I. Debaters Y and C are selected together.
II. Debaters Z and B are selected together.
III. Debaters Z and D are never selected together.

শর্তাবলি বিশ্লেষণ:

মোট প্রার্থী: \(7\) জন (\(A, B, C, D, X, Y, Z\))
দলের সদস্য সংখ্যা: \(4\) জন

প্রদত্ত শর্তসমূহ:

    
• শর্ত ১: \(Y \implies B\) (\(Y\) নির্বাচিত হলে \(B\)-কে অবশ্যই নির্বাচন করতে হবে)
    
• শর্ত ২: \(Z \implies D\) (\(Z\) নির্বাচিত হলে \(D\)-কে অবশ্যই নির্বাচন করতে হবে)
    
• শর্ত ৩: \(B \implies \neg C\) (\(B\) নির্বাচিত হলে \(C\) নির্বাচিত হতে পারবে না)
    
• শর্ত ৪: \(A\) এবং \(C\) উভয়কে একসাথে নির্বাচন করা যাবে না
    
• শর্ত ৫: \(D \implies \neg A\) (\(D\) নির্বাচিত হলে \(A\) নির্বাচিত হতে পারবে না)

বিবৃতিসমূহ পরীক্ষা:

১. বিবৃতি I: Debaters Y and C are selected together (Y এবং C একসাথে নির্বাচিত হয়)
শর্ত ১ অনুযায়ী, \(Y\) নির্বাচিত হলে \(B\)-কেও নির্বাচন করতে হবে। আবার শর্ত ৩ অনুযায়ী, \(B\) নির্বাচিত হলে \(C\) নির্বাচিত হতে পারবে না। সুতরাং, \(Y\) নির্বাচিত হলে \(C\)-কে কখনোই নির্বাচন করা সম্ভব নয়। তাই এই বিবৃতিটি অবশ্যই মিথ্যা (Must be false)।

২. বিবৃতি II: Debaters Z and B are selected together (Z এবং B একসাথে নির্বাচিত হয়)
ধরি, \(Z\) এবং \(B\) উভয়কে নির্বাচন করা হলো:

    
• \(Z\) নির্বাচিত হলে শর্ত ২ অনুযায়ী \(D\)-ও নির্বাচিত হবে।
    
• \(D\) নির্বাচিত হওয়ায় শর্ত ৫ অনুযায়ী \(A\) বাদ যাবে।
    
• \(B\) নির্বাচিত হওয়ায় শর্ত ৩ অনুযায়ী \(C\) বাদ যাবে।

এখন গঠিত দলটি হলো \(\{Z, D, B\}\)। বাকি ১ জন সদস্য হিসেবে \(X\) কে নিলে চূড়ান্ত দল হয় \(\{Z, D, B, X\}\), যা সকল শর্ত মেনে চলে। অর্থাৎ, \(Z\) এবং \(B\) একসাথে নির্বাচিত হওয়া সম্ভব। তাই এই বিবৃতিটি মিথ্যা নয়।

৩. বিবৃতি III: Debaters Z and D are never selected together (Z এবং D কখনো একসাথে নির্বাচিত হয় না)
শর্ত ২ অনুযায়ী, \(Z\) নির্বাচিত হলেই \(D\)-কে অবশ্যই নির্বাচন করতে হবে। অর্থাৎ, \(Z\) নির্বাচিত হলে \(D\) তার সাথেই নির্বাচিত হয়। তাই "তারা কখনো একসাথে নির্বাচিত হয় না" — এই বিবৃতিটি অবশ্যই মিথ্যা (Must be false)।

যৌক্তিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী, বিবৃতি I নিশ্চিতভাবেই একটি অসম্ভব ঘটনা নির্দেশ করে।