$x + 1, x^2 - 1$এর ল.সা.গু কত?

বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M & H.C.F of Algebraic Expressions)

বীজগাণিতিক রাশিগুলোর সাধারণ গুণিতক ও সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করাকে বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু নির্ণয় বলা হয়।

গ.সা.গু (H.C.F - Highest Common Factor)

দুই বা ততোধিক রাশির সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে বৃহত্তম গুণনীয়ককে গ.সা.গু বলা হয়।

ল.সা.গু (L.C.M - Least Common Multiple)

দুই বা ততোধিক রাশির সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম গুণিতককে ল.সা.গু বলা হয়।

গ.সা.গু নির্ণয়ের নিয়ম

• প্রথমে রাশিগুলোকে উৎপাদক বিশ্লেষণ করতে হবে
• সাধারণ উৎপাদকগুলো নির্বাচন করতে হবে
• প্রতিটি সাধারণ উৎপাদকের ক্ষুদ্রতম ঘাত নিতে হবে

ল.সা.গু নির্ণয়ের নিয়ম

• প্রথমে রাশিগুলোকে উৎপাদক বিশ্লেষণ করতে হবে
• সব উৎপাদক নিতে হবে
• প্রতিটি উৎপাদকের বৃহত্তম ঘাত নিতে হবে

উদাহরণ ১ : গ.সা.গু নির্ণয়

নিচের রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু নির্ণয় করি:

$6x^{2}y,9x{y}^2$

সহগ 6 ও 9 এর গ.সা.গু = 3
সাধারণ চলক = x এবং y

ক্ষুদ্রতম ঘাত নিলে পাই:

$3xy$

উদাহরণ ২ : ল.সা.গু নির্ণয়

নিচের রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু নির্ণয় করি:

$4x,6x^2$

সহগ 4 ও 6 এর ল.সা.গু = 12
চলকের বৃহত্তম ঘাত = x²

সুতরাং ল.সা.গু হবে:

$12x^2$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• গ.সা.গুতে ক্ষুদ্রতম ঘাত নেওয়া হয়
• ল.সা.গুতে বৃহত্তম ঘাত নেওয়া হয়
• প্রথমে উৎপাদক বিশ্লেষণ করা গুরুত্বপূর্ণ
• সহগ ও চলক আলাদাভাবে বিবেচনা করতে হয়

মনে রাখার উপায়

“গ.সা.গুতে ছোট ঘাত, ল.সা.গুতে বড় ঘাত” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে নির্ণয় করা যায়।

সপ্তম শ্রেণিতে অনূর্ধ্ব তিনটি বীজগণিতীয় রাশির সাংখ্যিক সহগসহ গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় সম্পর্কে সম্যক ধারণা দেওয়া হয়েছে । এখানে সংক্ষেপে এ সম্পর্কে পুনরালোচনা করা হলো।

সাধারণ গুণনীয়ক : যে রাশি দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটির গুণনীয়ক, একে উক্ত রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক (Common factor) বলা হয়। যেমন, $x^{2}y,xy,x{y}^2,5x$ রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক হলো $x$ ।

আবার, $(a^2-b^2),(a+b{)}^2,(a^3+b^3)$ রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক $(a+b)$

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.)

দুই বা ততোধিক রাশির ভিতর যতগুলো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক আছে, এদের সকলের গুণফলকে ঐ রাশিদ্বয় বা রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (Highest Common Factor) বা সংক্ষেপে গ.সা.গু. (H.C.E) বলা হয়। যেমন, $a^3{b}^2{c}^3, a^5{b}^3{c}^4$ ও $a^4{b}^3{c}^2$ এই রাশি তিনটির গ.সা.গু. হবে $a^3{b}^2{c}^2$ ।

আবার, ${(x+y)}^2,{ (x+y)}^3$

গ.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম

প্রথমে পাটিগণিতের নিয়মে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে। এরপর বীজগণিতীয় রাশিগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করতে হবে। অতঃপর সাংখ্যিক সহগের গ.সা.গু. এবং প্রদত্ত রাশিগুলোর সর্বোচ্চ বীজগণিতীয় সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর ধারাবাহিক গুণফলই হবে নির্ণেয় গ.সা.গু.।

উদাহরণ ১। $9a^3{b}^2{c}^2, 12a^{2}bc$ ও $15a{b}^3{c}^3$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : $9, 12, 15$এর গ.সা.গু. $=3$

$a^3,a^2,a$ এর গ.সা.গু $=a$

$b^2,b,b^3$ এর গ.সা.গু $=b$

$c^2,c,c^3$ এর গ.সা.গু $= c$

নির্ণেয় গ.সা.গু. $=3abc$

উদাহরণ ২। $x^3–2x, x^2-4$ $xy-2y$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে, প্রথম রাশি $=x^3-2x^2=x^2(x–2)$

দ্বিতীয় রাশি $=x–4=(x+2)(x–2)$

তৃতীয় রাশি $=xy-2y=y(x–2)$

রাশিগুলোতে সাধারণ উৎপাদক $(x–2)$ এবং এর সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাতযুক্ত উৎপাদক $(x–2)$

$\therefore$গ.সা.গু. $=(x–2)$

উদাহরণ ৩। $x^{2}y(x^3-y^3), x^2{y}^2(x^4+x^2{y}^2+y^4)$ ও $(x^2{y}^2+x^2{y}^3+x{y}^4)$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে, প্রথম রাশি $=x^{2}y(x^3–y^3)$

$=x^{2}y(x-y)(x^2+xy+y^2)$

দ্বিতীয় রাশি $= x^2{y}^2(x^4+x^2{y}^2 +y^4)$

$=x^2{y}^2{\left(x^2\right)}^2+2x^2{y}^2+{\left(y^2\right)}^2-x^2{y}^2$

$=x^2{y}^2(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)$

$= x^2{y}^2 (x^2+xy+y^2)(x^2–xy+y^2)$

তৃতীয় রাশি $=x^3{y}^2+x^2{y}^3+x{y}^4=x{y}^2(x^2+xy+y^2)$

এখানে, প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশির সাধারণ উৎপাদক $xy(x^2+xy+y^2)$

$\therefore$গ.সা.গু.$=xy(x^2+xy+y^2)$

সাধারণ গুণিতক : কোনো একটি রাশি অপর দুই বা ততোধিক রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, ভাজ্যকে ভাজকদ্বয় বা ভাজকগুলোর সাধারণ গুণিতক (Common Multiple) বলে । যেমন, $a^2{b}^{2}c$ রাশিটি $a, b, c, ab, be, ca, a^{2}b, a{b}^2, a^{2}c, b^{2}c$রাশিগুলোর প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য । সুতরাং, $a^2{b}^{2}c$ রাশিটি $a, b, c, ab, be, ca, a^{2}b, a^{2}c, a{b}^2, b^{2}c$ রাশিগুলোর সাধারণ গুণিতক। আবার, ${(a+b)}^2(a-b)$ রাশিটি $(a+b), {(a+b)}^2$ ও $(a^2–b^2)$ রাশি তিনটির সাধারণ গুণিতক।

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.)

দুই বা ততোধিক রাশির সম্ভাব্য সকল উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফলকে রাশিগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (Least Common Multiple) বা সংক্ষেপে ল.সা.গু. (L.C.M.) বলা হয়।

যেমন, $x^2{y}^{2}z$ রাশিটি $x^{2}yz, x{y}^2$ ও $xyz$ রাশি তিনটির ল.সা.গু.।

আবার, ${(x+y)}^{2 }(x–y)$ রাশিটি $(x+y), {(x+y)}^2$ ও $\left(x^2-y^2\right)$ রাশি তিনটির ল.সা.গু.।

ল.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম

প্রথমে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
এরপর সাধারণ উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত বের করতে হবে। অতঃপর উভয়ের গুণফলই হবে প্রদত্ত রাশিগুলোর ল.সা.গু.

উদাহরণ ৪। $4a^{2}bc, 8a{b}^{2}c$ ও $6a^2{b}^{2}c$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সামাধান: এখানে, $4, 8$ ও $6$ এর ল.সা.গু $=24$

প্রদত্ত রাশিগুলোর সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাতের উৎপাদক যথাক্রমে $a^2, b^2, c$

$\therefore$ ল.সা.গু. $=24a^2{b}^{2}c.$

উদাহরণ ৫। $x-x^{2}y,x^{2}y+x{y}^2,x^3+y^3$ এবং ${(x+y)}^3$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে, প্রথম রাশি $=x^2+x^{2}y=x^2(x+y)$

দ্বিতীয় রাশি $=x^{2}y+x{y}^2=xy(x+y)$

তৃতীয় রাশি $={47}^2=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

চতুর্থ রাশি $={(x+y)}^3=(x+y)(x+y)(x+y)$

$\therefore$ ল.সা.গু. $=x^{2}y(x+y{)}^3(x^2-xy+y^2)=x^{2}y(x+y{)}^2(x^3+y^3)$

উদাহরণ ৬। $4(x^2+ax{)}^2, 6(x^3-a^{2}x)$ ও $14x^3(x^3-a^3)$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধাণ : এখানে প্রথম রাশি $=4(x^2+ax{)}^2=2\times 2\times x^2(x+a{)}^2$

দ্বিতীয় রাশি $=6(x^3-a^{2}x)=2\times 3\times x(x^2-a^2)=2\times 3\times x(x+a)(x-a)$

তৃতীয় রাশি $=14x^3(x^3-a^3)=2\times 7\times x^3(x-a)(x^2+ax+a^2)$

$\therefore$ ল.সা.গু. $=2\times 2\times 3\times 7\times x^3\times (x+a{)}^2(x-a\left)\right(x^2+ax+a^2)$

$=84x^3(x+a{)}^2(x^3-a^3)$