$x = 3 + 2\sqrt{2}$ হলে, $\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)$ এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে,

\(x = 3 + 2\sqrt{2}\)

এখন, \(\frac{1}{x}\) এর মান নির্ণয় করি।

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\)

হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি \( (3 - 2\sqrt{2}) \) দ্বারা গুণ করি:

\(\frac{1}{x} = \frac{1 \times (3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}\)

\( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

\(\frac{1}{x} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2}\)
\(\frac{1}{x} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - (4 \times 2)}\)
\(\frac{1}{x} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8}\)
\(\frac{1}{x} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{1}\)
\(\frac{1}{x} = 3 - 2\sqrt{2}\)

এখন, \( x + \frac{1}{x} \) এর মান নির্ণয় করি।

\(x + \frac{1}{x} = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2})\)
\(x + \frac{1}{x} = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}\)
\(x + \frac{1}{x} = 3 + 3\)
\(x + \frac{1}{x} = 6\)

অতএব, \(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) এর মান হবে:

\(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}(6)\)
\(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) = 3\)

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি \(x = a + \sqrt{b}\) আকারে থাকে এবং \(a^2 - b = 1\) হয়, তাহলে \(\frac{1}{x} = a - \sqrt{b}\) হয়।

এখানে, \(x = 3 + 2\sqrt{2}\)। আমরা \(2\sqrt{2}\) কে \(\sqrt{8}\) লিখতে পারি।

তাহলে, \(x = 3 + \sqrt{8}\)।

এখানে \(a = 3\) এবং \(b = 8\)।

আমরা যাচাই করি, \(a^2 - b = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1\)। যেহেতু শর্ত পূরণ হয়েছে, তাই আমরা সরাসরি লিখতে পারি:

\(\frac{1}{x} = 3 - 2\sqrt{2}\)

এখন, প্রদত্ত রাশিতে মান বসাই:

\(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}( (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) )\)
\( = \frac{1}{2}(3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2})\)
\( = \frac{1}{2}(6)\)
\( = 3\)