x + y = 8 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

দুটি সংখ্যার যোগফল স্থির থাকলে, তাদের গুণফল তখনই সর্বোচ্চ হয় যখন সংখ্যা দুটি সমান হয়।

এখানে, \(x + y = 8\)

\(xy\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয়ের জন্য, \(x\) এবং \(y\) এর মান সমান হতে হবে।

ধরি, \(x = y\)

তাহলে, \(x + x = 8\)

\(2x = 8\)

\(x = \frac{8}{2}\)

\(x = 4\)

যেহেতু \(x = y\), সুতরাং \(y = 4\)

এখন, \(xy\) এর বৃহত্তম মান হবে:

\(xy = 4 \times 4 = 16\)

অথবা, বীজগাণিতিকভাবেও প্রমাণ করা যায়:

আমরা জানি, \((x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy\)

সুতরাং, \(xy = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{4}\)

এখানে \(x+y = 8\)

তাহলে, \(xy = \frac{(8)^2 - (x-y)^2}{4}\)

\(xy = \frac{64 - (x-y)^2}{4}\)

\(xy\) এর মান সর্বোচ্চ হবে যখন \((x-y)^2\) এর মান সর্বনিম্ন হবে। যেহেতু \((x-y)^2\) একটি বর্গের মান, এর সর্বনিম্ন মান \(0\) হতে পারে।

\((x-y)^2 = 0\) তখনই হবে যখন \(x-y = 0\), অর্থাৎ \(x = y\)।

\(x = y\) হলে, \(x+y = 8 \implies x+x=8 \implies 2x=8 \implies x=4\)। তাই \(y=4\)।

অতএব, \(xy\) এর বৃহত্তম মান হবে:

\(xy = \frac{64 - 0}{4} = \frac{64}{4} = 16\)

যখন দুটি সংখ্যার যোগফল (Sum) স্থির থাকে, তখন তাদের গুণফল (Product) সর্বোচ্চ হয় যখন সংখ্যা দুটি পরস্পর সমান হয়।

এখানে, \(x + y = 8\)।

\(xy\) এর বৃহত্তম মান বের করতে হলে, \(x = y\) ধরতে হবে।

\(x = y = \frac{\text{যোগফল}}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

সুতরাং, বৃহত্তম গুণফল \(xy = 4 \times 4 = 16\)।

আপনি কাছাকাছি পূর্ণসংখ্যাগুলির গুণফল পরীক্ষা করেও এটি দেখতে পারেন:

    
• যদি \(x = 1\), \(y = 7\) হয়, তাহলে \(xy = 1 \times 7 = 7\)
    
• যদি \(x = 2\), \(y = 6\) হয়, তাহলে \(xy = 2 \times 6 = 12\)
    
• যদি \(x = 3\), \(y = 5\) হয়, তাহলে \(xy = 3 \times 5 = 15\)
    
• যদি \(x = 4\), \(y = 4\) হয়, তাহলে \(xy = 4 \times 4 = 16\)

দেখা যাচ্ছে, যখন সংখ্যা দুটি সমান হয় (বা সবচেয়ে কাছাকাছি হয়), তখনই গুণফল বৃহত্তম হয়।